Bild und Kern einer Matrix bestimmen sowie Mono-,Epi-,Isomorphismus?

Question

Sei die lineare Abbildung $\varphi: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{5}$ gegeben durch $\varphi(x)=A x$ mit

Man soll dazu u.a. eine Basis von $\operatorname{Ker}(\varphi)$ und von $\operatorname{Im}(\varphi)$ bestimmen. An dem Punkt komme ich ehrlich gesagt nicht weiter und würde mich über Hilfe freuen :)

Und aus Eigeninteresse, wie kann ich zeigen, ob $\varphi$ ein Monomorphismus, ein Epimorphismus, ein Isomorphismus ist?

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung einer Basis des Bildes rechnen wir die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren heraus. Dazu verwenden wir elementare Spaltenumformungen nach Gauß:$$\begin{array}{rrrr} & -2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\\hline1 & 2 & 3 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 3 & -3\\1 & 1 & 2 & 0\\2 & 2 & 2 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr}+S_2 & \cdot(-1) & -2S_2 & -3S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\1 & -1 & -2 & -3\\0 & 0 & 3 & -3\\1 & -1 & -1 & -4\\2 & -2 & -4 & -6\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} & & & +S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & -3\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & 2 & 0 & 0\end{array}\quad\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\end{array}$$Es bleiben drei linear unabhängige Vektoren übrig, die wir als Basis für das Bild wählen können.

Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene Gleichungssystem lösen:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 3 & 4 & 0 &-Z_2\\1 & 1 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 3 & -3 & 0 &\colon3\\1 & 1 & 2 & 0 & 0 &-Z_2\\2 & 2 & 2 & 2 & 0 & -2Z_2\\\hline0 & 1 & 2 & 3 & 0 &\\1 & 1 & 1 & 1 & 0 &-Z_1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 &\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 &-Z_3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 2 & 3 & 0 & -2Z_3\\1 & 0 & -1 & -2 & 0 &+Z_3\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & 5 & 0 &\implies x_2+5x_4=0\\1 & 0 & 0 & -3 & 0 &\implies x_1-3x_4=0\\0 & 0 & 1 & -1 & 0 &\implies x_3-x_4=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$In den 3 verbliebenen Gleichungen können wir $x_4$ auf die rechte Seite bringen:$$x_2=-5x_4\quad;\quad x_1=3x_4\quad;\quad x_3=x_4$$und so alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_4\\-5x_4\\x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}3\\-5\\1\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir eine Basis des Kerns gefunden.

Wir fassen zusammen:

$$\text{Basis}(\text{Bild}(A))=\left(\;\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\3\\1\\0\end{pmatrix}\;\right)\quad;\quad\text{Basis}(\text{Kern}(A))=\left(\;\begin{pmatrix}3\\-5\\1\\1\end{pmatrix}\;\right)$$

Die Abbildung ist nicht injektiv, denn die Dimension des Kerns ist $1$, sodass es unendlich viele Vektoren gibt, die auf die $0$ abbilden. Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, da die Dimension des Bildes $3$ ist, wir uns aber im $\mathbb R^5$ befinden. Damit ist diese Abbildung kein X-morphismus.