Gebrochenrationale Funktion Zählergrad 4

Question

Aufgabe:

Nullstellen, Polstellen und hebbare Def. Lücken.

f(x)= (x⁴-4x³+3x²+4x-4)/(x³-3x-2)

Problem/Ansatz:

Def. Lücken liegen bei 2/0 und -1/0 das habe ich bereits. (Durch Nenner = 0 setzen)

Bei der Nullstelle der funktion komme ich leider nicht weiter (man kann nichts ausmultiplizieren) und zudem komme ich nicht auf die Polstelle.

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

f ( x ) = ( x⁴-4*x³+3*x²+4*x-4 ) / ( x³ - 3x -2 )
Nullstelle : Zähler = 0
x = -1
x = 1
x = 2

mögliche Polstellen : Nenner = 0
( Diviision durch 0 )
x = -1
x = 2

---------------------------------------------------

f ( -1 )
l ´ Hospital
( (-1)⁴-4*(-1)³+3*(-1)²+4*(-1)-4 ) = 0
( (-1)³ - 3(-1) -2 ) = 0

4*x³ - 12*x³ + 6*x + 4
3x² - 3

4*(-1)³ - 12*(-1)³ + 6*(-1) + 4 = -18
3(-1)² - 3 = 0

-18 durch 0 = Polstelle

-1 ist eine Polstelle

------------------------------------------------
f ( 2 )


( (2)⁴-4*(2)³+3*(2)²+4*(2)-4 ) = 0
( (2)³ - 3(2) -2 ) = 0

4*x³ - 12*x³ + 6*x + 4
3x² - 3

4*(2)³ - 12*(2)³ + 6*(2) + 4 = 0
3(2)² - 3 = 9

0 / 9 = 0

0 / 9 ist keine Polstelle

Es ist eine hebbare Lücke
( 2 | 0 )

Die Aufgabe soll doch sicher mit GTR / CAS
gelöst werden.

Answer 2

(man kann nichts ausmultiplizieren)

aber faktorisieren schon:

$\frac{x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+4 x-4}{x^{3}-3 x-2} = \frac{(x-2)(x-1)}{x+1}$

Comments

Hallo 2CV,
hast du das faktorieren von Hand
durchgeführt ?

---

Nicht nur von Hand. Es braucht auch den Kopf. Und in meinem Fall das Doping mit einer leckeren Banane, sprich auch der Gastrointestinaltrakt war involviert. Zudem die Ohren.

---

Es wäre schön wenn du meine Frage auch
beantworten würdest.

Hast du ein GTR/CAS genutzt ?

---

Nein, Scheff.

---

Wie geht das zu Fuß ?

Ich habe mehrere Quellen - Internet, Bücher - durchforstet habe aber nichts zu so
einer umfangreichen Faktorisierung
gefunden.

Ich wäre dir ∞ dankbar wenn du mir für
x⁴ - 4*x³ + 3*x² + 4*x - 4
auf die Sprünge helfen könntest.

mfg Georg

---

Hallo Georg,

wenn man die Annahme zugrunde legt, dass zumindest eine der bewussten Stellen ganzzahlig ist, kommen für den Zähler nur -4, -2, -1, 1, 2 und 4 in Frage.

Im Nenner ist es sogar nur -2, -1, 1 oder 2.

Wenn dann auch noch von hebbarer Unstetigkeit die Rede ist, haben Zähler und Nenner sogar eine gemeinsame Nullstelle.

Wie man dann mit dem gefundenenen Linearfaktor eine Polynomdivision macht, steht sowohl im Internet als auch in diversen Lehrbüchern.

---

Die Nullstellen ergeben (x+1)(x−1)(x−2)(x−2) im Zähler und (x+1)(x+1)(x−2) im Nenner.

---

Das habe ich mittlerweile auch bereits
ermittelt. Allerdings mit CAS.

Meine Frage war wie man zu Fuß
vorgeht.

---

Der Satz über rationale Nullstellen hilft weiter, Abakus hat ihn implizit erwähnt.

Answer 3

Aloha :)

Hier bietet es sich an, den Funktionsterm zu faktorisieren.$$f(x)=\frac{x^4-4x^3+3x^2+4x-4}{x^3-3x-2}$$Im Zähler gruppieren wir die Summanden nach geraden und ungeraden Exponenten von $x$ und können dann faktorisieren:$$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=(x^4+3x^2-4)+(-4x^3+4x)$$$$\qquad=(x^2+4)(x^2-1)-4x(x^2-1)=(x^4+4-4x)(x^2-1)=(x-2)^2(x^2-1)$$Im Nenner erraten wir eine Nullstelle bei $x=2$, das heißt, der Nenner enthält den Linearfaktor $(x-2)$. Den müssen wir ausklammern können:$$x^3-3x-2=x^3\,\underbrace{-2x^2+2x^2}_{=0}\,\,\underbrace{-4x+x}_{=-3x}-2=(x^3-2x^2)+(2x^2-4x)+(x-2)$$$$\qquad=x^2(x-2)+2x(x-2)+1\cdot(x-2)=(x^2+2x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)$$

Definitionsmenge

Damit haben wir den Funktionsterm vollständig faktorisiert:$$f(x)=\frac{(x-2)^2(x+1)(x-1)}{(x+1)^2(x-2)}$$Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, also müssen wir $(-1)$ und $2$ ausschließen. Die Definitionsmenge lautet also:$$D=\mathbb R\setminus\{-1;2\}$$

Nullstellen

Die Nullstellen des Zählers sind $(-1)$, $1$ und $2$. Da aber $(-1)$ und $2$ wegen des Nenners nicht zur Definitionsmenge gehören, bleibt nur eine Nullstelle bei $x=1$ übrig.

Lücken und Polstellen

Es fällt auf, dass wir $(x-2)$ und $(x+1)$ kürzen können:$$\tilde f(x)=\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)}$$In der gekürzten Version wird der Nenner für $x=2$ nicht mehr zu $0$, also liegt bei $x=2$ eine (be)hebbare Lücke vor. Für $x=-1$ bleibt der Nenner weiterhin $0$, also liegt dort eine Polstelle vor.