Asymptotische Beschränkung

Question

Aufgabe:

Beweise, dass f ∈ O(g) für f:ℕ→ℝ≥₀ mit f(x) = (3x³+x+1)/(2x+1) und g:ℕ→ℝ≥₀ mit g(x) = x²

Problem/Ansatz:

Wie finde ich das c, sodass c*g(x) ≥ f(x) für x ≥m mit m ∈ℕ gilt?

Answer 1

Für \(x>1\) gilt

        \(\begin{aligned} & \frac{3x^{3}+x+1}{2x+1}\\ <\ & \frac{3x^{3}+x^{3}+x^{3}}{2x+1}\\ =\ & \frac{5x^{3}}{2x+1}\\ <\ & \frac{5\left(2x+1\right)^{3}}{2x+1}\\ =\ & 5\left(2x+1\right)^{2}\\ <\ & 5\left(2x+x\right)^{2}\\ =\ & 5\left(3x\right)^{2}\\ =\ & 45x^{2} \end{aligned}\)

Comments

Okay, jetzt fühle ich mich dumm xD, vielen Dank, große Hilfe

Answer 2

Hallo:-)

Alternativ würde auch sowas gehen:

\(\begin{aligned}  & \frac{3x^{3}+x+1}{2x+1}\\[10pt] \stackrel{x\geq 1}{\leq} & \frac{3x^{3}+x^{3}+x^{3}}{2x+1}\\[10pt] =\ & \frac{5x^{3}}{2x+1}\\[10pt] \leq \ &\frac{5x^3}{2x}=\frac{5}{2}x^2\end{aligned}\)

Comments

Danke, das ist vielleicht noch besser ^^