Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von A.

Question

Aufgabe:

Hey ich habe die folgende Aufgabe

Gegeben ist die \( (2,2) \)-Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 5 \\ -2 & 2 \end{array}\right) \text {. } \)
Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von A.
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Kern}(\mathbf{A}))= \)
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Bild}(\mathbf{A}))= \)

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir der Lösungsweg erklären.
ich möchte gerne die Lösungsweg wissen nicht nur der Endlösung, um zu verstehen, wie man mit solche Aufgaben umgehen kann.

danke im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix hat vollen Rang, weil ihre Determinante \(\ne0\) ist. Die Dimension des Bildes ist daher \(=2\) und die Dimension des Kerns ist \(=0\), d.h. der Kern enthält nur den Nullvektor.

Wenn die Determinante \(=0\) wäre, könntest du den Kern bestimmen, indem du alle Lösungen \(A\cdot\vec x=\vec 0\) findest. Die Dimension des Lösungsraumes ist dann die Dimension des Kerns. Die Dimension des Bildes ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix.