lineare Abbildung | Basistransformation und dimension des bildes und des kerns

Question

ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht so recht weiter.

Bin über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

b)mit Zeilen statt Spalten geschrieben ( tippt sich leichter) hast du

Phi(x1;x2) = ( 4x1+3x2 ; 10x1 - 8x2 ; x1 + 2x2 )

                = x1*(4;10;1) + x2*(3;-8;2)

also erzeugen  (4;10;1) und (3;-8;2)das Bild von Phi und weil

sie lin. unabh. sind bilden sie sogar eine Basis also dim (Bild) = 2.

Kern sind die (x1;x2) mit Phi(x1;x2) = ( 0;0;0)

also 4x1+3x2= 0   und  10x1 - 8x2=0  und   x1 + 2x2= 0

⇔     4x1+3x2= 0   und  10x1 - 8x2=0  und   x1 = -  2x2

⇔     4x1+3x2= 0   und  -20x2 - 8x2=0  und   x1 = -  2x2

⇔     4x1+3x2= 0   und  -28x2 =0  und     x1 = -  2x2

⇔     4x1+3x2= 0   und  x2 =0  und     x1 = -  2x2

⇔     4x1+3x2= 0   und  x2 =0  und     x1 = -  2*0 = 0

also kurz  x1=x2=0  Also dim(Kern) = 0.

Comments

In der k-ten Spalte steht das Bild des k-ten Basisvektors von B
welches mit der Basis C1 dargestellt wird.
AlsoMatrix von Phi bzgl. B und C1 ist
4       3
10     -8
1       2

Matrix von Phi bzgl. B und C1 ist
da musst man ( 4 ; 10 ; 1 ) mit den Vektoren von C2 darstellen
also
( 4 ; 10 ; 1 )=a*(-1 ; 0 ;0 ) +b(-1 ; 2 ; 0) +c*(2;0,1)
und die abc bilden dann die erste Spalte der Matrix.
entsprechend mit
( 3 ; -8 ; 2 ) =a*(-1 ; 0 ;0 ) +b(-1 ; 2 ; 0) +c*(2;0,1)
für die 2. Spalte.

Das T heißtja wohl: Die Vektoren von C1 durch die von C2 darstellen.
Gibt wohl
-1      -1/2    2
0      1/2      0
0        0       1

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Ich danke dir vielmals für die ausführliche Erklärung :)

Rechne das mal fix nach und schau ob ich es dann auch verstanden habe :)

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Du meinst doch bei

Matrix von Phi bzgl. B und C1 ist 
da musst man ( 4 ; 10 ; 1 ) mit den Vektoren von C2 darstellen 
also 

bei C1 wohl C2 da du die Matrix für C1 dadrüber ja schon angegeben hast?

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Genau, das war vertippt.