Wie kann ein Supremum der leeren Menge überhaupt existieren?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweisen Sie:
In einem vollständigen Verband \( (M, \preceq) \) ist \( \sup \varnothing \) das kleinste Element in \( M \).

Problem/Ansatz:

Ich komme irgendwie überhaupt nicht mit dieser Aufgabe klar. Wie kann ein Supremum der leeren Menge überhaupt existieren? Wäre eine obere Schränke nicht einfach irgendein Wert? Und was wäre in diesem Zusammenhang die kleinste obere Schranke?

Comments

Diskrete Strukturen Uni Leipzig? :D

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Pssssscht

Kam dieses mal wirklich nicht weiter und war komplett verwirrt was die Aufgabe betrifft^^

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Aber irgendwie sehr satisfying, wenn man nach den Aufgabenstellungen sucht und sie hier perfekt findet:D

Answer 1

Ist \(s\in M\) beliebig, so folgt: \(x\in \emptyset\Rightarrow x\leq s\)

wegen "ex falso quodlibet" (Die Prämisse ist falsch, die Implikation also wahr).

Die Menge der oberen Schranken von \(\emptyset\) ist also ganz \(M\).

Die kleinste obere Schranke ist damit das kleinste Element von \(M\),

q.e.d.

Comments

Wie kommt man genau zu der Implikation? Es leuchtet mir ein, dass eine obere Schranke der leeren Menge alles sein kann, nur verstehe ich nicht, was in diesem Zusammenhang die kleinste obere Schranke wäre.

Oder wäre diese dann wieder irgendein beliebiges Element?

Bin ich auf dem richtigen Weg?

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\(M\) ist - wie du ja eingesehen hast - die Menge

der oberen Schranken \(S\). Das Infimum von \(M\) existiert dann

und ist gemäß der Definition von "\(\leq\)" das kleinste Element

von \(S=M\).

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Ah okay, ich denke ich habe es nun verstanden. Danke!