Es ist \(|F_q^*|=4p\). Da die Ordnung von \(2\) ein Teiler dieser
Gruppenordnung ist, ergeben sich als Ordnungen von \(2\)
die Möglichkeiten \(\{1,2,4,p,2p,4p\}\). Wir wollen zeigen,
dass \(ord(2)=4p\) ist.
\(2^1=1\) ist Unsinn. Ferner ist \(2^2=4=1\) unsinnig, da \(3\neq 0\).
\(2^4=1\Rightarrow 15=0\Rightarrow 3=0\) oder \(5=0\), was nicht der Fall ist,
da die Charakteristik von \(F_q\; \geq 4\cdot 3+1\) ist.
Bleibt noch \(p\) und \(2p\) auszuschließen:
Sei \(\rho\) eine Primitivwurzel modulo \(q\) und es gebe
ein \(r\) mit \(1<r<4p\) mit \(2=\rho^r\). Dann gilt:
\(ord(2)=p\Rightarrow \rho^{pr}=1\) und damit \(4p\; | \; pr\),
woraus folgt, dass \(r\) gerade ist. Entsprechend gilt:
\(ord(2)=2p\Rightarrow \rho^{2pr}=1\) und damit \(4p\; | \; 2pr\),
woraus ebenfalls folgt, dass \(r\) gerade ist.
Dann ist aber \(2=\rho^r\) ein Quadrat.
Nach dem 2. Ergänzungssatz des quadratischen Reziprozitätsgesetzes
gilt aber \((\frac{2}{q})=(-1)^{\frac{q^2-1}{8}}=-1\), also
Widerspruch.
Damit ist \(ord(2)=4p=q-1\) erwiesen,
q.e.d.
