Äquivalenzrelationen - Gegebenen Beweis erklären

Question

ich übe gerade für eine Klausur und habe nach Aufgaben mit Lösungen zu Äquivalenzrelationen gesucht und auch was gefunden. Es geht um den Beweis der Aufgabe 2 sprich um die Lösung von dieser Website http://mitarbeiter.hs-heilbronn.de/~vstahl/logikki/themenaufgaben/loesaequivalenz.pdf

Es sollte bewiesen werden, dass a~b wenn a-b=4*P eine Äquivalenzrelation ist (~ = Relation)

Ich verstehe hier den beweis der Transitivität nicht ganz, es wird gesagt das wenn a~b gilt und b~c gilt auch a~c gilt, weil:

a-c=(a-b)+(b-c) und genau den Teil verstehe ich nicht, wieso kann man einfach sagen, dass die Summe dieser beiden Relationen wieder diese Relation ergibt?

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Ich finde die Aufgabe nicht im Link.
Was ist 4P genau?

a-b ist durch 4 teilbar steht dort.

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Sei die Relation R

Dann gilt hier für a R b, dass a-b=p*4 wobei a,b,p € lN und es gilt somit also, dass a und b in Relation stehen, wenn die Differenz von a und b durch 4 teilbar ist. Es geht also um es formaler zu sagen um den Beweis der Teilbarkeitsrelation mit 4 über lN und mir speziell geht es um die Transititvität. Es wird hier gesagt:

Wenn a R b also a-b=4*p und b R c also b-c=4*q gilt, so gilt im Falle der Transitivität der Relation R auch a R c mit a-c = 4*p und soweit verstehe ich auch alles, ist ja nur die Definition. Für den Beweis wird nun einfach gesagt, dass a-c = (a-b)+(b-c) sei und eine Summe aus Termen die durch 4 teilbar sind auch wieder durch 4 teilbar ist, ich verstehe aber nicht warum man a-c = (a-b)+(b-c) schreiben darf.

Answer 1

Ich verstehe hier den beweis der Transitivität nicht ganz, es wird gesagt das wenn a~b gilt und b~c gilt auch a~c gilt, weil:

a-c=(a-b)+(b-c) und genau den Teil verstehe ich nicht, wieso kann man einfach sagen, dass die Summe dieser beiden Relationen wieder diese Relation ergibt?

Nach Voraussetzung ist a-b= 4K und b-c= 4L , K und L ganze Zahlen.

Daher ist a-c=(a-b)+(b-c) = 4K-4L = 4(K-L) . Da K-L eine ganze Zahl ist, ist 4(K-L) durch 4 teilbar und somit ist a-c durch 4 teilbar.

Comments

Super, dass war doch mal verständlich :)

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Schön, dass du das verstanden hast;)

 ich verstehe aber nicht warum man a-c = (a-b)+(b-c) schreiben darf.

Das ist ähnlich wie quadratisch ergänzen.

a-c = a-b + b -c        (bisher wurde nur 0 etwas komplizierter eingefügt) 

= (a-b) + (b-c)         (nun wurden noch Klammern gesetzt)

Answer 2

Nun, die Summe zweier durch 4 teilbarer Zahlen ist zweifellos durch 4 teilbar. Da laut Voraussetzung sowohl a - b als auch b - c durch 4 teilbar sind, ist also auch deren Summe ( a - b ) + ( b - c ) durch 4 teilbar. ( a - b ) + ( b - c ) aber ist gerade gleich a - c, also ist unter der genannten Voraussetzung auch a - c durch 4 teilbar. Und damit ist die Transitivität gezeigt.