minimale Differenz von Funktionswerten

Question

Aufgabe:

f(x)= -2/3*x^2+2*x+1

h(x)= 3/4*x+7/2

Im Intervall [-1| 4] existiert eine Stelle u , an der die Differenz der Funktionswerte von h und f minimal wird. Stelle eine Zielfunktion auf und ermittle die Stelle u sowie die minimale Differenz.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Ansatz dieser Aufgabe nicht und weiß nicht was ich überhaupt ausrechnen soll um auf die Zielfunktion zu kommen.

Answer 1

Die Differenzfunktion ist die Differenz, darum heißt sie so.

Finde das Minimum von h(x) - f(x).

Comments

Ich komme dann auf PMin(0,93|1.91). Ist die Stelle u =0.93 und die minimale Differenz 1.91?

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Wenn man falsch rundet, dann ja.

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Man kann sich auch überlegen, dass das an der Stelle ist wo die Steigung von f(x) der Steigung von h(x) entspricht, also die erste Ableitung von f(x) = 3/4 setzen.

Answer 2

Aloha :)

Die Differenz der Funktionswerte ist der Betrag:$$d(x)=\left|h(x)-f(x)\right|=\left|\left(\frac34x+\frac72\right)-\left(-\frac23x^2+2x+1\right)\right|=\left|\frac23x^2-\frac54x+\frac52\right|$$$$\phantom{d(x)}=\frac23\left|x^2-\frac{15}{8}x+\frac{15}{4}\right|=\frac23\left|x^2-\frac{15}{8}x+\left(\frac{15}{16}\right)^2-\left(\frac{15}{16}\right)^2+\frac{15}{4}\right|$$$$\phantom{d(x)}=\frac23\left|\left(x-\frac{15}{16}\right)^2-\frac{225}{256}+\frac{960}{256}\right|=\frac23\left|\left(x-\frac{15}{16}\right)^2+\frac{735}{256}\right|$$Da das Minimum des Quadrats \(=0\) ist, haben wir den minimalen Abstand $$d_{\text{min}}=\frac{245}{128}\quad\text{bei}\quad x=\frac{15}{16}$$

~plot~ -2/3*x^2+2x+1 ; 3/4*x+7/2 ; x=15/16 ; [[-5|5|-4|6]] ~plot~