Lagrange der Produktionsfunktion

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=3x₁² +63x₁x₂+3x₂²,

wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 95 bzw. 62 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 5443 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:

a. Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 5443 ME die Kosten minimal?
b. Bei welcher Menge von x2 werden bei einem Output von 5443 ME die Kosten minimal?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?
e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum?

Problem/Ansatz:

L= 95x₁+62x₂-λ (3x₁² +63x1x2+3x₂² - 5443)

Dann nach x1 x2  und λ ableiten, aber wie geht es dann weiter? kann mir bitte jemand helfen

Comments

Aktuellere Version:

Titel: Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 5443 ME die Kosten minimal?

Stichworte: produktionsfunktion

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=3x21+63x1x2+3x22,
wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 95 bzw. 62 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 5443 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:

a. Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 5443 ME die Kosten minimal? 6.81

b. Bei welcher Menge von x2 werden bei einem Output von 5443 ME die Kosten minimal? 11.45

c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?

d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?

e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum? 1356.62

Problem/Ansatz:

kann mir jemand sagen wie man die c und die d berechnen kann?

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Bei Deiner identischen Frage vom 11. Januar hast Du noch gewusst, wie das geht mit der Lagrangefunktion.

Answer 1

aber wie geht es dann weiter?

Ableitungen gleich null setzen, Gleichungssystem lösen

Answer 2

c)

Du hast sicher die Lagrangefunktion und die partiellen Ableitungen, die gleich Null gesetzt wurden, notiert.

Löse davon eine Bedingungsgleichung nach Lambda auf und setze das ein was du gegeben hast.

Ich erhalte zur Kontrolle λ = 0.1246

d)

Teile einfach dein x1 aus Lösung a) durch das x2 aus Lösung b).

Hier erhalte ich x1/x2 = 0.5943345805

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Vielen Dank!!