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Wie geht genau soll ich die Aufgabe machen?

Kann mir jemand dabei helfen, ich verstehe nicht wie das geht?


Betrachten Sie für \( c \in \mathbb{N} \) die rekursive Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch den Anfangswert \( a_{1}=c \) und

\( a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a_{n}}{2}, & \text { falls } a_{n} \text { gerade, } \\ 3 a_{n}+1, & \text { falls } a_{n} \text { ungerade }\end{array} \quad(n \geq 1)\right. \)

1. Geben Sie für \( c \in\{1,3,24,336\} \) jeweils die ersten 12 Folgeglieder der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) an.
2. Bestimmen Sie alle Anfangswerte \( c \in \mathbb{N} \), so dass \( a_{6}=1 \) gilt.

von

siehe Collatz-Folge bzw. Collatz-Problem.

Hast Du Schwierigkeiten beim Teil 2?

Ja, dass habe ich

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

2. Bestimmen Sie alle Anfangswerte \( c \in \mathbb{N} \), so dass \( a_{6}=1 \) gilt.

Hier gilt es, die Folge rückwärts zu gehen. Nun gibt es im Allgemeinen meistens 2 Möglichkeiten. Im Detail ist das so:

Wenn \(a_6=1\) ist, dann kann \(a_5\) nur \(a_5=2\) gewesen sein. \(a_5=2\) ist gerade, es gilt die erste Regel, also wird daraus \(a_6=a_5/2=1\). Die zweite Regel \(3a_5+1=1\) fällt hier flach, da dann \(a_5=0\) sein müsste und Du solltest beim Teil 1 schon geahnt haben, dass alle Folgeglieder \(a_n\in\mathbb N\) sind.

Für \(a_5=2\) gilt das gleiche. \(a_4=4\), die zweite Regel fällt wieder aus, da das Ergebnis \(3a_n+1\) stets \((1\mod 3)\) sein muss, also der Rest nach der Division durch 3 gibt immer 1, und das ist bei der 2 nicht der Fall.

Für \(a_3\) (als Vorgänger für \(a_4=4\)) gibt es zum ersten Mal zwei Möglichkeiten: \(a_3=8\) und \(a_3=1\). Verfolgt man \(a_3=1\) weiter - wie oben - kommt man bei \(a_1=4\) heraus. Und damit haben wird den ersten der gesuchten Anfangswerte gefunden.

Für \(a_2\) (als Vorgänger von \(a_3=8\)) kommt jetzt wieder nur \(a_2=16\) in Frage. Und jetzt darfst Du mal selber weiter denken.

Die Lösung ist \(c = \in\{4,\,5,\,32\}, \space a_6=1\).

Gruß Werner

von 42 k

Könntest du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen. Komme da leider nicht weiter.


https://www.mathelounge.de/905506/betrag-bruchsungleichung-losen

Könntest du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen.

oswald hat Dir bereits geantwortet. Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Weiß nicht wie man auf die Fallunterscheidungen x < -3
-3 ≤ x < 3 kommt



Dachte es wäre einmal x ≥3 und x < -3


x ≥3: 2x/(x-3)(x+3) ≥ 6   

 2x ≤ 6(x^2 -9)

2x ≤ x^2 - 54

6x^2 -2x -54≥ 0

x^2 - 1/3 x -9 ≥ 0

x1 ≥ 3,194 V x2 ≤ -2,861


L1 = {x∈ℝ | x1 ≥ 3,194}

x < 3

1/-(x-3)  + 1/(x+3) ≥ 6

1/(-x+3) +  1/(x+3) ≥ 6

( 1(x+3) + 1(-x+3) )/(-x+3)(x+3) ≥ 6

6/(-x+3)(x+3) ≥ 6

6 ≤ 6(-x+3)(x+3)

6 ≤  6(-x^2 + 9)

1 ≤ -x^2 +9

-8≤ -x^2

x^2 ≤ 8

L2 = {x∈ℝ | -√8 ≤ x< 3}

L= L1 U L2 = {x∈ℝ | x ≥ 3,194 U -√8 ≤ x< 3}


Was für Fehler habe ich da noch gemacht? Danke

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Hallo

du musst doch nur für die  4 gegebenen Zahlen  jeweils die 12 Zahlen ausrechnen?

vielleicht bemerkst du ja mal bestimmte Regelmäßigkeiten, bzw Wiederholungen?

Gruß lul

von 80 k 🚀

Das habe ich mir gedacht, aber war mir unsicher. Wär das richtig? :

an+1= 336/2

168+1 = 169/2 = 84,5

Oder habe ich das falsch verstanden ?

Gruß

an+1= 336/2
168+1 = 169/2 = 84,5

wenn \(a_1=336\) ist, dann ist \(a_2=168\). Das ist korrekt, da \(a_1\) eine gerade Zahl ist. 168 ist aber auch eine gerade Zahl, also ist wieder die erste Regel anzuwenden:$$a_3 = \frac{a_2}2 = 84, \quad \text{da}\space a_2 \space \text{gerade}$$

Nie! wird ein an +1 genommen! ungerade Zahlen - und NUR die werden mit 3 multiplizieren und 1addiert, damit sind sie wieder gerade...

eigentlich ist die Vorschrift ehr einfach!

lul

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