Stetigkeit einer Funktion widerlegen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( g:] 0,3[\rightarrow \mathbf{R}, x \mapsto(\lfloor x\rfloor+1)(x-1) \) keine stetige Funktion ist.

Answer 1

Mit dem Folgenkriterium kannst du das wiederlegen:

Nimm eine Folge, welche in dem Def.bereich drin ist, z.B. 2 - 1/n und zeige

lim n -> oo f(xn) ist nicht gleich f(lim n-> oo von xn)

f(xn) = (1+1)*(2-1/n-1)= 2*(1-1/n)=

2-2/n und für n nach unendlich ist das 2

Wenn du 2-1/n in Floor eingibst, dann ist die Zahl für alle n ausschließlich zwischen 1 und 2, und das rundet ab zu einer 1

f(lim n->oo xn) = f(2)= 3*1=3

Comments

Okay,

die Wahl von \( a_{n} = 2 -  \frac{1}{n} \) ist aber wirklich nicht intuitiv oder?

Ich hatte mir nämlich auch etwas ähnliches gedacht, bin da aber erst bei Anschauung des Graphen draufgekommen, da man dort klar sehen konnte, dass f(x) für \( x = 2 \) nicht linksstetig ist.

Und somit bin ich dann erst auf die Idee gekommen eine Folge die nach 2 konvergiert auszusuchen.

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Ich habe da auch ein bisschen überlegt, habe da mit mehreren Folgen versucht, die Stetigkeit zu wiederlegen, aber die Sache mit dem Floor macht das einfacher, weil auf beiden Seiten im Folgenkriterium nicht das Gleiche erste Wert steht.