Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie deren Wert.

(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{|x|} \)
(ii) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+\alpha x+\beta}-x\right) \)
In (ii) seien hierbei \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) mit \( \alpha, \beta \geq 0 \).

Komme hier einfach nicht weiter. Habe eigentlich schon versucht mit vielen Übungen mir das Thema zu vereinfachen, aber anscheinend hat es wenig gebracht. Ich komme einfach auf keine Lösung, nicht mal auf einen Ansatz.

Answer 1

Aloha :)

zu i) Betrachte rechts- und linksseitigen Grenzwert getrennt:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{x^2}{|x|}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{x^2}{-x}=\lim\limits_{x\nearrow0}(-x)=0$$$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x^2}{|x|}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}(x)=0$$Die Grenzwerte aus beiden möglichen Richtungen existieren und sind beide gleich. Daher ist der gesuchte Grenzwert \(0\).

zu ii) Bilde einen Bruch und nutze die 3-te binomische Formel:$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}-x\right)\left(\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}+x\right)}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(x^2+\alpha x+\beta\right)-x^2}{\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}+x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\alpha x+\beta}{\sqrt{x^2+\alpha x+\beta}+x}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1x\left(\alpha x+\beta\right)}{\sqrt{\frac{1}{x^2}(x^2+\alpha x+\beta)}+\frac1x\cdot x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\alpha+\frac{\beta}{x}}{\sqrt{1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x^2}}+1}=\frac{\alpha+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{\alpha}{2}$$