Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \mathbb{D} von f und skizzieren Sie D

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) in zwei Veränderlichen mit

\( f(x, y)=\sqrt{x^{2}+2 x+y^{2}+2 y+1} . \)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) von \( f \) und skizzieren Sie \( \mathbb{D} \).

Lösung + Lösungsweg bitte. Danke! Und bitte verständlich.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=\sqrt{x^2+2x+y^2+2y+1}=\sqrt{(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)-1}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2-1}$$Das Argument unter der Wurzel muss \(\ge0\) sein:$$(x+1)^2+(y+1)^2\ge1$$Das ist fast der gesamte \(\mathbb R^2\), bis auf einen Kreis mit Mittelpunkt \((-1|-1)\) und Radius \(1\). Der Rand dieses Kreises gehört noch mit zum Definitionsbereich, nur das Innere dieses Kreises muss ausgeschlossen werden.