Aloha :)
Wir können das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Dasselbe gilt für die Spalten. Damit können wir die Determinante zunächst vereinfachen:
$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}5 & 4 & 2 & 1\\2 & 3 & 1 & -2\\-5 & -7 & -3 & 9\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|\stackrel{{Z_3+=Z_1}\atop{Z_2-=2Z_4}}{=}\left|\begin{array}{rrrr}5 & 4 & 2 & 1\\0 & 7 & 3 & -10\\0 & -3 & -1 & 10\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|\stackrel{{Z_1-=5Z_4}\atop{Z_2+=Z_3}}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 14 & 7 & -19\\0 & 4 & 2 & 0\\0 & -3 & -1 & 10\\1 & -2 & -1 & 4\end{array}\right|$$$$=-\left|\begin{array}{rrrr}14 & 7 & -19\\4 & 2 & 0\\-3 & -1 & 10\end{array}\right|\stackrel{S_1-=2S_2}{=}-\left|\begin{array}{rrrr}0 & 7 & -19\\0 & 2 & 0\\-1 & -1 & 10\end{array}\right|=-(-1)\left|\begin{array}{rrrr}7 & -19\\2 & 0\end{array}\right|=38$$
