Determinante einer 4x4 Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

(a.)

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

A = $\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

(b.)

Hängt das Ergebnis vom Körper ab, über dem die Matrix betrachtet wird?

Problem/Ansatz:

Bin bezüglich Determinante komplett ausgestiegen... Daher kann ich leider keine brauchbaren Ansätze angeben....

LG

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante ist aufwändig zu berechnen, da keine Nullen enthalten sind. Daher bauen wir die Matrix zunächst etwas um. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Reihe von einer anderen subtrahiert. Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 4, dann 5-mal Zeile 3 von Zeile 2.$$\text{det}\,A = \left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{array}\right|= \left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 0 & -6 & -12 & -18 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right|$$Man kann Faktoren aus einer Reihe vor die Determinante ziehen. Aus Zeile 2 können wir $(-6)$ vor die Determinante ziehen und aus Zeile 4 können wir $2$ vor die Determinante ziehen:$$\text{det}\,A=(-6)\cdot\left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right|=(-6)\cdot2\cdot\left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right|$$Jetzt können wir Zeile 2 von Zeile 4 subtrahieren:$$\text{det}\,A=\left|\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=0$$Der Wert einer Determinante ist $=0$, wenn sie 2 gleiche Reihen bzw. eine $0$-Reihe enthält. Daher kommt hier als Ergebnis $0$ heraus.

Answer 2

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

Die Determinante kannst du mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnen:

        $\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}$.

Dabei ist $A_{ij}$ die Matrix, die entsteht indem man in $A$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte entfernt.

Hängt das Ergebnis vom Körper ab, über dem die Matrix betrachtet wird?

In diesem Fall nicht. Im Allgemeinen ja. Zum Beispiel ist

        $\det \begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix} = 1$ in F₃ und

        $\det \begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix} = 4$ in F₅.