Bestimmen Sie das Integral über die Menge A

Question

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich nicht verstehe:

Berechnen Sie das Integral $\int\limits_{A}^{}$ z max {x,y} dx dy dz, wobei A:= { (x,y,z) ∈ℝ^3  | 0 ≤ x² +y² ≤1, 0≤ z ≤ $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ -1 }

Macht man das denn m it der Fubini ?

Also da ich gerade die anderen Themen wiederhole, bin ich hier leider noch nicht und verstehe es leider noch nicht :(

Ich wäre über jede Hilfe dankbar !

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Wir tasten das Volumen $A$ mit Hilfe von Zylinderkoordinaten ab:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in\left[0\bigg|\frac1r-1\right]$$

Die zu integrierende Funktion ist etwas pathologisch, weil der Faktor $\operatorname{max}(x;y)$ darin auftaucht. Wenn wir zuerst über $d\varphi$ und dann erst über $dr$ integrieren, also $\varphi$ laufen lassen und $r$ dabei festhalten, können wir schreiben:$$\operatorname{max}(x;y)=\operatorname{max}(r\cos\varphi\,;\,r\sin\varphi)=r\cdot\operatorname{max}(\cos\varphi;\sin\varphi)$$Um die Maximum-Funktion aufzulösen, überlegen wir uns, an welchen Stellen die Cosinus- und die Sinusfunktion gleich sind:$$\sin\varphi=\cos\varphi\implies\tan\varphi=1\implies\varphi=\arctan(1)+\mathbb Z\pi=\frac{\pi}{4}+\mathbb Z\pi$$Der Summand $\mathbb Z\pi$ resultiert aus der $\pi$-Periode der $\tan$-Funktion. Im Integrationsintervall $[0;2\pi]$ haben wir also an den Stellein $\frac\pi4$ und $\frac{5\pi}{4}$ Gleichheit der beiden Winkelfunktion. Daher gilt:$$\operatorname{max}(x;y)=r\cdot\operatorname{max}(\cos\varphi;\sin\varphi)=\left\{\begin{array}{ll}r\cos\varphi &\text{falls }\varphi\in\left[0;\frac\pi4\right]\\[1ex]r\sin\varphi &\text{falls }\varphi\in\left]\frac\pi4;\frac{5\pi}{4}\right]\\[1ex]r\cos\varphi &\text{falls }\varphi\in\left[\frac{5\pi}{4};2\pi\right]\end{array}\right.$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = cos(x)f₂(x) = sin(x)x = π/4x = 5π/4x = 2πZoom: x(0…7) y(-1,1…1,1)

Mit dem Volumenelement $dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$ in Zylinderkoordinaten haben wir alles, um das Integral zu formulieren:

$$I=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}}\cos\varphi\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{4}}\sin\varphi\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\left[\sin\varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\left[\cos\varphi\right]_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{4}}+\left[\sin\varphi\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\left(\frac{1}{\sqrt2}-0\right)-\left(-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\right)+\left(0+\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}2\sqrt2r^2z\,dz\,dr=\int\limits_{r=0}^1\left[\sqrt2r^2z^2\right]_{z=0}^{\frac1r-1}dr=\int\limits_{r=0}^1\sqrt2r^2\left(\frac1r-1\right)^2dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\sqrt2\left(1-r\right)^2dr=\left[\frac{\sqrt2}{3}(r-1)^3\right]_0^1=\frac{\sqrt2}{3}$$

Comments

Vielen lieben Dank! Werde ich aufjedenfall nachholen und versuchen zu verstehen !

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Mache ich sehr gerne , danke !