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Aufgabe:

K ein Körper, der $$\mathbb{Q}$$ enthält.

Die Anordnung auf K ist eine Teilmenge $$P \subseteq K $$ mit den Eigenschaften:

i) $$ 0 \notin P$$

ii) für $$x \neq 0$$ gilt entweder $$x \in P$$ oder $$-x \in P$$

iii) $$P$$ ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation.


Dann definiert man $$x < y$$ genau dann, wenn $$y-x \in P$$.

Zeige, dass für keine Primzahl der Körper $$\mathbb{Q}_p$$ eine Anordnung besitzt.

problem/Ansatz:

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In der Aufgabe

https://www.mathelounge.de/907856/gleichungen-losen-im-quotientenkorper-der-adischen-zahlen

wurde gezeigt, dass \(x^2+y^2+z^2+1^2=-1\) in \(Q_p\) lösbar ist für alle

Primzahlen \(p\).

\(-1\) ist also eine Summe von Quadraten. Wäre nun \(Q_p\) ein angeordneter

Körper, so wäre \(-1\) als Summe von Quadraten ein Element von \(P\),

was aber nicht möglich ist, da ja dann \(1\) und \(-1\) in \(P\) lägen.

Avatar von 29 k

Aaaah, so habe ich das noch gar nicht gesehen. Ich hatte diese Aufgabe nämlich vor der anderen versucht sodass mir dieser Ansatz natürlich nicht klar war.

Vielen Dank für deine Hilfe ermanus, ich wünsche Dir einen schönen Abend :)

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