Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche von K

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der Körper

\( K=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2} \leq 2, x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\} . \)
a) Beschreiben Sie den Körper \( K \) in Zylinderkoordinaten \( (r, \varphi, z) \).
b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes \( F=\left(x y, y x, x^{2} y^{2}\right)^{T} \) durch die Oberfläche von \( K \), d.h. das Integral
\( \int \limits_{\partial K} F \mathrm{~d} S \)
mit Hilfe eines geeigneten Integralsatzes.

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) ist soweit kein Problem

Bei b) stehe ich allerdings ein bissl aufm Schlauch, mir ist bewusst, dass ich den Satz von Stokes anwenden muss, allerdings weiß ich nicht, was ich als dF nehmen muss.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Punktmenge \(K\) beschreibt ein Volumen, das sich mit Hilfe eines Vektors \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten abtasten lässt:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[0;\frac\pi2\right]\quad;\quad z\in[0;r]$$

zu b) Zur Berechnung des Flusses des Vektorfeldes \(\vec F=(xy;yx;x^2y^2)\) durch die Oberfläche von \(K\) bietet sich der Gauß'sche Integralsatz an (\(d\vec f=dV\,\vec\nabla\)):$$\Phi=\oint\limits_{\partial K}\vec F\,d\vec f=\oint\limits_{\partial K}d\vec f\,\vec F=\int\limits_{K}dV\,\vec\nabla\vec F=\int\limits_{K}dV\left(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\right)=\int\limits_{K}(y+x)dV$$Beim Übergang zu Zylinderkoordinaten wird das Volumenelement \(dV\) verzerrt, es gilt \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\), sodass unser Integral wie folgt aussieht:$$\Phi=\int\limits_{r=0}^2\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{z=0}^r(r\sin\varphi+r\cos\varphi)\,r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{r=0}^2\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{z=0}^rr^2(\sin\varphi+\cos\varphi)\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{\Phi}=\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}(\sin\varphi+\cos\varphi)d\varphi}_{=2}\cdot\int\limits_{r=0}^2r^2\underbrace{\left(\;\;\int\limits_{z=0}^r\,dz\right)}_{=r}\,dr=2\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr=2\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=8$$