Aufgabe:
a) Berechnen Sie jeweils eine Basis des Kerns von:
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 4 & 3 & 10 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 10 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4 \times 5} \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{array}\right) \in(\mathbb{Z} / 5)^{3 \times 3} \)
b) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der linearen Gleichungssysteme:
\( A \cdot\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) \quad B \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)
c) Für welche \( t \in \mathbb{R} \) ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar:
\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \left(t^{2}-5\right) \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ t \end{array}\right) . \)
Bestimmen Sie für alle \( t \in \mathbb{R} \) die Lösungsmenge (Fallunterscheidungen!).
