Zeigen, dass Y=αX auch exponentialverteilt ist

Question

Aufgabe:

Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ. Dann soll gezeigt werden, dass  Y = αX (mit α > 0) auch eine Exponentialverteilung, und zwar mit Parameter λ/α ist.

Problem/Ansatz:

Wie könnte ich die Aufgabe lösen?

Answer 1

Hallo,

das regelt sich ganz leicht mit Hilfe der Verteilungsfunktion. Sei F die Vfunktion von X und G die von Y. Dann gilt nach der Definition der Vfunktion:

$$G(y)=P(Y \leq y)=P(aX \leq y)=P(X \leq \frac{1}{a}y)=F(\frac{1}{a}y)=1-\exp(-\frac{\lambda}{a}y),$$

und dies für nichtnegative y. Sonst ist das Ergebnis 0.

Dies ist gerade die behauptete Verteilungsfunktion

Gruß Mathhilf