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(i) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1} \)
(ii) Berechnen Sie den folgenden Limes
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\ln (\cos (x))} \)
(iii) Zeigen Sie, dass die durch
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right. \)
definierte Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist. Ist \( f \) überall stetig differenzierbar (d.h. ist die Ableitung von \( f \) überall stetig)?

Aufgabe:

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Geht es um die Anwendung der Sätze von l'Hospital?. Beachte, dass diese Regel(n) eventuell auch 2mal oder sogar mehrmals angewendet werden. Was spricht dagegen, dass Du es einfach mal machst?

1 Antwort

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Hallo,

(i) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1} \)

Wenn Du 0 einsetzt, bekommst Du den Ausdruck 0/0 ->Regel von L'Hospital.

Leite den Zähler und Nenner getrennt ab:

Du bekommst:

=\( \lim\limits_{x\to0} \) (\( \frac{2x}{e^{x}}) \) =0

Avatar von 121 k 🚀

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