Behauptung zeigen (Limes, Stetigkeit) - Analysis 1. Zeigen: Für jedes a > 0 auch gilt: limx→∞ f(ax)/f(x) = 1

Question

Gegeben ist:  f: ℝ→ℝ ist positiv und monoton (steigend oder fallend) und erfüllt
lim_x→∞ f(2x)/f(x) = 1
Zu zeigen ist dann dass für jedes a > 0 auch gilt:  lim_x→∞ f(ax)/f(x) = 1

Als Hinweis ist noch gegeben, dass man die Behauptung zunächst für 2ⁿ = a zeigen soll.
Ich weiß jetzt nicht so genau wie ich vorgehen soll, wenn ich annehme, das f(x) stetig ist, dann gilt ja f(2x)=2f(x) und dann würde ja nachdem ich f(x) rausgekürzt habe nur noch stehen: lim_x→∞ 2 = 1, aber das kann doch gar nicht stimmen und wie ich das ganze für a zeige, weiß ich auch nicht :/ Danke :)

Comments

wenn ich annehme, das f(x) stetig ist, dann gilt ja f(2x)=2f(x) und dann wür

Das stimmt nicht.

Da hast du stetig mit linear oder homogen verwechselt.

Answer 1

zu allerst gilt f(2x) = 2f(x) wenn f linear ist (und nicht stetig wie du geschrieben hast). Dies ist aber gar nicht gegeben und wie du selbst gesehen hast auch gar nicht möglich.

Folge dem Hinweis: Zuerst zeigen, dass die Behauptung für alle $a = 2^n, \quad n \in \mathbb{N}$.  Hier müsste man doch zumindest eine Induktion versuchen.

Für $n = 1$ ist klar. $n = 0$ sowieso.

Für den Induktionsschritt mache dir zu nutze, dass

$$\frac{f(2^{n+1}x)}{f(x)} = \frac{f(2^nx)}{f(x)} \cdot \frac{f(2^{n+1}x)}{f(2^nx)}$$

Hast du dies nun bewiesen so sollte dir klar sein, dass es für $a \geq 1$ du immer ein $n \in \mathbb{N_0}$ findest mit $2^n \leq a \leq 2^{n+1}$. Mit der Monotonie und dem Sandwich-Kriterium kannst du nun die Behauptung für $a \geq 1$ zeigen.

Für $0 < a < 1$ kannst du dir ja überlegen, ob man eine Aussage über $\lim \limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f(2x)}$ finden kann.

Gruß

Comments

An Induktion hatte ich auch gedacht, aber wusste dann nicht mehr weiter. Aber vielen Dank!

Hilft mir schon um einiges weiter!!

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Habe nochmal eine Frage zu deiner Antwort. Wenn ich dann schließlich annehme, dass 2ⁿ ≤ a ≤ 2ⁿ⁺¹ gilt, dann kann ich ja auch sagen, dass f(2ⁿ) ≤ f(a) ≤ f(2ⁿ⁺¹), weil f ja als positiv definiert wurde, und dann kann ich ja einfach das Sandwich-Lemma darauf anwenden ohne etwas nochmal großartig beweisen zu müssen, oder nicht ?

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Nicht weil f positiv definiert ist. Den Fall den du beschreibst ist wenn f monton steigend ist! Und dann greift das Sandwich-Lemma. Analog musst du noch den Fall, wenn f monoton fallend ist abdecken.