Question

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und beschränkt. Dann besitzt \( f \) einen Fixpunkt, \( \mathrm{d} . \mathrm{h} . \), es existiert ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x \).

Leider komme ich hier nicht weiter. Hoffe dass jemand die Aufgabe lösen kann und die Schritte genauer erläutern, damit ich solche Aufgaben in der Zukunft einfacher verstehen kann. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

es sei c eine Schranke für \(|f(x)|, x \in \mathbb{R}\). Wir wenden den Zwischenwertsatz auf

$$h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x):=f(x)-x$$

an. In der Tat gilt

$$h(c)=f(c)-c \leq c-c=0 \text{  und } h(-c)=f(-c)+c \geq -c+c=0$$

Nach dem Zwischenwertsatz hat h eine Nullstelle in \([-c,c]\), also f einen Fixpunkt.

Gruß Mathhilf