Sinus hyperbolicus Beweisaufgabe

Question

Der Sinus hyperbolicus ist definiert durch \( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \).
(i) Zeigen Sie \( \sinh (x)<\sinh (y) \) für \( x<y \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh (x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sinh (x)=-\infty \)
(ii) Zeigen Sie, dass sinh bijektiv und \( \sinh ^{-1} \) stetig ist.

Bräuchte bei der (i) Hilfe. Finde einfach keine Lösung. Ich hoffe das hier jemand die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung der Sinus-hyberbolicus-Funktion ist stets positiv$$\sinh'(x)=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0$$weil \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Daher ist \(\sinh(x)\) streng monoton wachsend, d.h.$$x<y\quad\implies\quad\sinh(x)<\sinh(y)$$

Für die Grenzwerte gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\sinh(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\overbrace{e^x}^{\to\infty}\cdot\overbrace{(1-e^{-2x})}^{\to1}}{2}\to\infty$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\sinh(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\overbrace{e^{-x}}^{\to\infty}\cdot\overbrace{(e^{2x}-1)}^{\to(-1)}}{2}\to-\infty$$

Comments

Wie würden sie die Aufgabe ii) beweisen?

Answer 2

\( \sinh (x)<\sinh (y) \) für \( x<y \)

Monotoniesatz. Zeige dass \(\sinh'(x) > 0\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\) ist.

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh (x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sinh (x)=-\infty \)

Verwende Rechenregeln für Grenzwerte und das was du über den Verlauf der Exponentialfunktion weißt.