Aufgabe \( f= \) (i) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=x-1-\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \) für \( x \in \mathbb{R} \) mindestens eine Nullstelle besitzt.
(ii) Sei \( f:[a, b] \rightarrow[a, b] \) stetig. Zeigen Sie, dass \( f \) einen Fixpunkt hat, d. h. dass es ein \( x \in[a, b] \) gibt so dass \( f(x)=x \) gilt.
Tipp: Wenden Sie den Zwischenwertsatz auf eine geeignete Hilfsfunktion an.
(iii) Betrachten Sie die Funktion \( f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x):=\frac{x+2}{2 x+5} \)
und weisen Sie nach, dass \( f \) die Voraussetzungen aus (ii) erfüllt. Bestimmen Sie alle Fixpunkte von \( f \).
(iv) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion \( f:(0,1) \rightarrow(0,1) \) an, die keinen Fixpunkt besitzt.
