P‘ n-1 Nullstellen und P n Nullstellen, Beweis

Question

Aufgabe:

Sei p:ℝ->ℝ ein polynom vom Grad n.

1. Beweisen sie, dass p‘ genau n-1 verschiedene reelle nullstellen hat, wenn p genau n verschiedene reelle nullstellen hat.

Answer 1

Polynomfunktionen sind ja stetig.

Zwischen je 2 Nullstellen von p liegt ein

Extrempunkt des Graphen von p.

Bei jedem Extrempunkt (Die sind ja dann alle verschieden.)

hat die Ableitung p' eine Nullstelle.

Comments

Also mit dem mittelwertsatz beweisen ? Oder Satz von Rolle ?

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Rolle geht auch, dann brauchst du gar nichts über die Extrempunkte:

Bei zwei Nullstellen a und b von p gilt ja insbesondere

p(a) = p(b) also ist (p(a)-p(b))/ (a-b) = 0

Also hat p' zwischen a und b auch ne Nullstelle.

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Okay super danke,aber wie bringe ich das mit den n-1 NST bei p‘ noch hin aber ich verstehe wieso aber habe Schwierigkeiten das sauber aufzuschreiben:/

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Etwa so:

Seien x1 < x2 < x3 < ... < xn die n verschiedenen

Nullstellen von p.

Dann gilt p(x1)=p(x2)=...=p(xn)=0.

Und für alle i ∈ { 1,...,n-1} gilt:

\(  \frac{p(x_{i+1})-p(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}} = 0 \)

Also gibt es nach dem Satz von Rolle in jedem

Intervall ]x_i;x_i+1[ eine Nullstelle von p' .

Also hat p'  n-1 verschiedene Nullstellen.

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Also nehme ich verschieden NST und die allgemeine Formel des MWS zeige es gibt eine Ableitung, dann mit dem Satz von Rolle existieren genau nur so viele,richtig ?

Würde den eine Umkehrung gelten ? Ich denke nein

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"zeige es gibt eine Ableitung"   brauchst du nicht.

Polynomfunktionen sind überall differenzierbar.

Du musst nur die Vor. von Rolle prüfen.

Umkehrung wäre ja:

Wenn p' n-1 versch. Nullstellen hat,

dann hat p auch n verschiedene.

Das gilt nicht, wie z.B. p(x) = x^4/4-x^3+x^2+1 zeigt

~plot~ x^4/4-x^3+x^2+1 ~plot~

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Die Voraussetzungen von Rolle f stetig wissen wie und auf dem Intervall (a,b) diffbar, dh diffbar muss ich noch prüfen.

Die Umkehrung kann ich einfach mit einem Gegenbeispiel widerlegen,Dankeschön.

Könntest du dir vielleicht meine Frage und Lösungsweg zu der Frage „Ungleichung mit dem MWS“ ansehen ?:/

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dh diffbar muss ich noch prüfen.

Das ist bei Polynomen auch klar !