Mehrfache Integration (Stochastik)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral ∫_A f(x, y)dxdy, falls

(a) f(x, y) := xy², A ist begrenzt durch die Kurven x² − 4y = 0, y = 1

(b) f(x, y) := x+y, A ist begrenzt durch die Kurven y² = 2x, x+y = 4, x+y = 12

Problem/Ansatz:

Hallo allerseits, ich komme bei dieser Aufgabe leider gar nicht voran und würde mich sehr über Ansätze, Hilfen und Rechnungen freuen.

Comments

Stochastik, wirklich?

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zunächst geeignete Integrationsintervalle für die Punktmengen $A$.

zu a) Hier wird $A$ wird begrenzt durch die Kurven $x^2-4y_1=0$ und $y_2=1$. Die erste können wir nach $y_1(x)=\frac{x^2}{4}$ umstellen. Für $-2\le x\le 2$ ist dann $y_1\le y_2$. Damit können wir die Punktmenge $A$ darstellen als:$$A_1=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\bigg|\,-2\le x\le 2\;\land\;\frac{x^2}{4}\le y\le 1\right\}$$

~plot~ x^2/4 ; 1 ; [[-3|3|0|1,5]] ~plot~

zu b) Hier wird $A$ durch drei Kurven begrenzt. Wegen des $y^2$ liefert uns eine Kurve jedoch zwei Begrenzungskurven. Wir stellen alle Begrenzungskurven nach $y$ um:$$y_1(x)=4-x\quad;\quad y_2(x)=12-x\quad;\quad y_3(x)=\sqrt{2x}\quad;\quad y_4(x)=-\sqrt{2x}$$Das sieht schlimm aus, es fallen jedoch schnell folgende Schnittpunkte auf:$$y_1(2)=y_3(2)\quad;\quad y_2(8)=y_3(8)\quad;\quad y_1(8)=y_4(8)\quad;\quad y_2(18)=y_4(18)$$Im Intervall $x\in[2|8]$ ist $y_1(x)\le y_3(x)$ und im Intervall $x\in[8|18]$ ist $y_4(x)\le y_2(x)$. Das führt uns zu folgender Darstellung der Punktmenge $A$:$$A_2=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\bigg| 2\le x\le 8\,\land\,4-x\le \sqrt{2x}\right\}$$$$\phantom{A_2}\cup\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\bigg| 8<x\le 18\,\land\,-\sqrt{2x}<x<12-x\right\}$$

~plot~ 4-x ; 12-x ; sqrt(2x) ; -sqrt(2x) ;  [[-2|20|-7|7]] ~plot~

Damit können wir nun die beiden Flächenintegrale formulieren:

$$F_1=\int\limits_{x=-2}^2\left(\;\;\int\limits_{y=\frac{x^2}{4}}^1xy^2\,dy\right)dx=\int\limits_{x=-2}^2\left[\frac{xy^3}{3}\right]_{y=\frac{x^2}{4}}^1dx=\int\limits_{x=-2}^2\left(\frac x3-\frac{x^7}{192}\right)dx=0$$Das Integral verschwindet, weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und die Integrationsgrenzen symmetrisch sind.

Das nächste Integral können wir wie folgt formulieren. Ich gebe bei der Berechnung nur die Zwischenergebnisse wieder, weil ich mir Tipparbeit sparen möchte und dir die Freude am Ausrechnen nicht nehmen möchte ;)

$$F_2=\int\limits_{x=2}^8\left(\;\;\int\limits_{y=4-x}^{\sqrt{2x}}(x+y)dy\right)dx+\int\limits_{x=8}^{18}\left(\;\;\int\limits_{y=-\sqrt{2x}}^{12-x}(x+y)dy\right)dx$$$$\phantom{F_2}=\int\limits_{x=2}^8\left(\sqrt{2x}\,x+\frac{x^2}{2}+x-8\right)dx+\int\limits_{x=8}^{18}\left(\sqrt{2x}\,x-\frac{x^2}{2}-x+72\right)dx$$$$\phantom{F_2}=\frac{826}{5}+\frac{5678}{15}=\frac{8156}{15}=543,7\overline3$$