0 Daumen
402 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=x^2 und g(x)=ax^3; a∈(1;2)

a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

b) Berechnen sie die Fläche zwischen den Graphen beider Funktionen, zwischen den Schnittpunkten.


Problem/Ansatz:

Zu a):

f(x)=g(x)

x^2=ax^3         Ι-x^2

0=ax^3-x^2      Ιx^2 ausklammern

0=x^2(ax-1)     ΙSatz des Nullproduktes

Soweit mein Ansatz. Mit dem Satz des Nullprodukts habe ich x1 = 0. Dann kommt mein Problem: Der nächste Schnittpunkt ist von a abhängig und x2 somit entweder ebenfalls 0 oder unendlich. Hier verstehe ich die Aufgabenstellung auch nicht. Eine Idee war, dass ich für a 1 und 2 einsetzte, womit ich zu zwei weiteren Schnittpunkten käme, was mir aber Probleme mit b) bescheren würde, da es ja Schnittpunkte von eigentlich drei Funktionen sind.

Zu b):

Wie soll ich die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen berechnen, wenn eine der Funktionen nicht genau definiert ist (bzw. auf 1;2 beschränkt)?

Oder ist meine Hauptproblem einfach, dass ich den a∈(1;2) Teil der Aufgabe nicht richtig zu interpretieren weiß?

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

LG Emi

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

ax-1=0 → x=1/a

Du musst also von 0 bis 1/a integrieren.

d(x)=ax³-x²

Integriert:

D(x)=a•x^4/4 - x³/3

D(a)= 1/(4a³) - 1/(3a³) = -1/(12a³)

D(0)=0

--> Fläche: 1/(12a³)

:-)

Avatar von 47 k

Hi,erstmal danke für deine Antwort!

das mit x=1/a ist einleuchtend!

Nochmal zu b)

\( \int\limits_{0}^{1/a} \)ax3-x2

D(x)=ax4/4 - x3/3

Soweit so gut, integrieren kann ich ;)

Aber wie bist du von hier

D(1/a) =(a(1/a)4)/4 - (1/a)3/3

nach hier

       =1/4a3 -1/3a3

gekommen? Bin da in den Unformungsregeln nicht so sicher - eine kurze Erklärung wäre super!

Hallo Emilia,

vielleicht hilft dir die schöne Schreibweise.

(a(1/a)^4)/4 - (1/a)^3/3

\(\dfrac14\cdot a\cdot \dfrac{1}{a^4}-\dfrac13\cdot \dfrac{1}{a^3}\\=\dfrac14\cdot \dfrac{a}{a^4}-\dfrac13\cdot \dfrac{1}{a^3} \\=   \dfrac14\cdot\dfrac{1}{a^3}-\dfrac13\cdot \dfrac{1}{a^3} \)

:-)

Danke, jetzt habe ich es verstanden! :D

0 Daumen

a soll wohl aus dem offenen Intervall von 1 bis 2 stammen. 1<a<2.

Für das weitere Integrieren ist das aber unerheblich.

Avatar von 123 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community