Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Determinante verändert ihren Wert nicht, wenn man Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert:$$D=\left|\begin{array}{rrrrr|}1 & -2 & 0 & -1 & 5 &\\1 & -1 & 4 & -2 & 3 &-Z_1\\3 & 1 & -2 & 1 & 1 & -3Z_1\\-2 & 3 & 1 & 8 & -8 & +2Z_1\\0 & -3 & 3 & \lambda & 9\end{array}\right.$$$$\phantom{D}=\left|\begin{array}{rrrrr|}1 & -2 & 0 & -1 & 5 &+2Z_2\\0 & 1 & 4 & -1 & -2 & \\0 & 7 & -2 & 4 & -14 &-7Z_2 \\0 & -1 & 1 & 6 & 2 & +Z_2\\0 & -3 & 3 & \lambda & 9 & +3Z_2\end{array}\right.$$$$\phantom{D}=\left|\begin{array}{rrrrr|}1 & 0 & 8 & -3 & 1 &\\0 & 1 & 4 & -1 & -2 & \\0 & 0 & -30 & 11 & 0 & \\0 & 0 & 5 & 5 & 0 & \\0 & 0 & 15 & \lambda-3 & 3 & \end{array}\right.$$
Der Block unten links bestehend aus sechs Nullen ist viel wert, weil wir nun die Determinanten-Formel für Blockmatrizen anwenden können:$$=\left|\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rr}-30 & 11 & 0\\5 & 5 & 0\\15 & \lambda-3 & 3\end{array}\right|$$
Die erste Determinante ist \(1\). Bei der zweiten Determinante ziehen wir den Faktor \(3\) aus der letzten Spalte und den Faktor \(5\) aus der ersten Spalte vor die Determinante, bevor wir sie nach der letzten Spalte entwickeln:$$=3\cdot5\cdot\left|\begin{array}{rr}-6 & 11 & 0\\1 & 5 & 0\\3 & \lambda-3 & 1\end{array}\right|=15\cdot(-30-11)=-615$$Der Wert der Determinante ist also unabhängig von \(\lambda\) gleich \(-615\)
