Warum sind die Spaltenvektoren einer (n x n) Matrix linear unabhängig wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist?

Question

Aufgabe:

Warum sind die Spaltenvektoren einer (n x n) Matrix linear unabhängig wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist?

Comments

Hallo

weisst du wann das GS Ax=0 lösbar ist?

lul

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Gleichungssystem ist lösbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist

Answer 1

Siehe hier

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=r…

Answer 2

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer $n\times n$-Matrix ist gleich dem $n$-dimensionalen Volumen, das die $n$ Zeilen- bzw. die $n$ Spaltenvektoren aufspannen.

Wenn die Determinante $\ne0$ ist, wird also ein $n$-dimensionales Volumen aufgespannt. Die Zeilen- und Spaltenvektoren der Matrix müssen dann linear unabhängig sein.

Wenn die Determinante $=0$ ist, wird das $n$-dimensionale Volumen nicht vollständig aufgespannt. Die Zeilen- und Spaltenvektoren decken daher maximal $(n-1)$ Dimensionen ab. Daher muss mindestens einer der Vektoren durch alle anderen darstellbar sein.