Vektoren Erzeugendensystem Beweis

Question

Aufgabe: Beweise dass die Vektoren ein Erzeugendensystem sind.

Hallo, kann mir bitte jemand erklären, wie ich von der ersten Zeile auf die zweite Zeile komme.

Ich habe mit einem LGS angefangen: I. a = 4x + (-2)y, II. b = (-2)x + 4y

Text erkannt:

\( B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \end{array}\right)\right\} \)
Wir können alle Vektoren mit diesen beiden Vektoren erzeugen:
\( \left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right)=\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{6}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array}\right)+\left(\frac{b}{3}+\frac{a}{6}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Du musst eine Lösung \(x\) und \(y\) für folgende Gleichung finden:$$\binom{a}{b}=x\cdot\binom{4}{-2}+y\cdot\binom{-2}{4}$$

Dazu kannst du wie folgt vorgehen:$$\begin{array}{rr|r|l}x & y & = & \text{Operation}\\\hline4 & -2 & a &+2\cdot\text{Zeile }2\\-2 & 4 & b &\\\hline0 & 6 & a+2b &\colon6\\-2 & 4 & b &\colon(-2)\\\hline0 & 1 & \frac a6+\frac b3 &\\[1ex]1 & -2 & -\frac b2 &+2\cdot\text{Zeile }1\\\hline0 & 1 & \frac a6+\frac b3 &\Rightarrow y=\frac a6+\frac b3\\[1ex]1 & 0 & \frac a3+\frac b6 &\Rightarrow x=\frac a3+\frac b6\end{array}$$

Damit haben wir die gesuchte Darstellung gefunden:$$\binom{a}{b}=\left(\frac a3+\frac b6\right)\cdot\binom{4}{-2}+\left(\frac a6+\frac b3\right)\cdot\binom{-2}{4}$$

Comments

Vielen Dank für die tolle Antwort! (: