2.Frage: Wie würde ich jetzt weiterzählen. Bleibt das j immer j=0 und nur das n läuft weiter?
Du nimmst an, dass die Formel für ein n gilt und leitest daraus die
Gültigkeit für n+1 her: Sei n∈ℕ mit
\( \sum \limits_{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right)=0 \).
==> \( \sum \limits_{j=0}^{n+1}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n+1 \\ j\end{array}\right) \)
ersten und letzten Summanden extra schreiben
\(= 1+ \sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n+1 \\ j\end{array}\right) +(-1)^{n+1} \)
Jetzt die Formel für Binomialkoeffizienten nutzen
\(= 1+ \sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{j}( \left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) +\left(\begin{array}{l}n \\ j-1\end{array}\right) ) +(-1)^{n+1} \)
2 Summen draus machen
\(= 1+ \sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) + \sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n \\ j-1\end{array}\right) +(-1)^{n+1} \)
Jetzt die erste 1 mit in die erste Summe packen und in der 2. den Index verschieben gibt
\(= \sum \limits_{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) + \sum \limits_{j=0}^{n-1}(-1)^{j+1}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) +(-1)^{n+1} \)
Die erste Summe entspricht der Induktionsannahme ist also 0
und bei der 2. den letzten Summanden reinpacken gibt
\(= 0 + \sum \limits_{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) \)
Jetzt ist die letzte Summe auch wie der Induktionsanfang, also auch 0. q.e.d.
