Zeige: LM/K ist eine endliche Körpererweiterung.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und K* ein algebraischer Abschluss. Seien M,L⊂K*, so dass M/K und M/K endlich sind. Sei LM der kleinste Teilkörper von K*, der L und M enthält.

Zeige: LM/K ist eine endliche Körpererweiterung.

Also ich weiß was ein algebraischer Abschluss ist und die Aussage versteh ich auch, ich weiß nur nicht so genau wie ich den Beweis angehen soll. Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

Da \(M\) und \(L\) endliche Körpererweiterungen sind,

etwa \([M:K]=m\) und \([L:K]=l\) hat \(M\) ein \(K\)-Erzeugendensystem

\(\{a_1,\cdots, a_m\}\) und \(L\) ein \(K\)-Erzeugendensystem

\(\{b_1,\cdots, b_l\}\). Dann ist

\(\{a_1b_1,\cdots,a_1b_l,\cdots,a_mb_1,\cdots,a_mb_l\}\) ein

\((m\cdot l)\)-elementiges Erzeugendensystem von \(ML\) über \(K\),

also \([ML\, :K]\leq ml\).