Anton entnimmt monatlich vorschüssig 250 Euro, verzinst wird nachschüssig monatlich, und zwar mit einem monatlichen Zinssatz von 0,03 /12 %, also einem Zinsfaktor
$$x=1+\frac { 0,03 }{ 12 } =1,0025$$
Das führt zu folgenden Ergebnissen:
Nach einem Monat hat Anton noch ein Restkapital von:
$$K_{ 1 }=(K-250)*x$$
Euro auf dem Sparbuch, denn er hebt ja am Monatsanfang 250 Euro ab und der Rest wird am Monatsende mit dem Faktor x verzinst.
Am Ende des zweiten Monats sieht es nach Verzinsung so aus:
$$K_{ 2 }=((K-250)x-250)x$$
Anton hat wieder am Monatsanfang 250 Euro entnommen und der Rest wurde am Monatsende mit dem Faktor x verzinst.
Am Ende des dritten Monats sieht es nach Verzinsung so aus:
$$K_{ 3 }=(((K-250)x-250)x-250)x$$
Wieder hat Anton am Monatsanfang 250 Euro entnommen und der Rest wurde am Monatsende mit dem Faktor x verzinst.
Multipliziert man K3 aus, so erhält man:
$$K_{ 3 }=(((K-250)x-250)x-250)x$$$$=((K-250)x^{ 2 }-250x-250)x$$$$=(K-250)x^{ 3 }-250x^{ 2 }-250x$$
und erkennt nun schon ein Muster, welches vermuten lässt, dass die Formel für das Kapital nach n Monaten so aussehen könnte:
$$K_{ n }=(K-250)x^{ n }-250x^{ n-1 }-250x^{ n-2 }-...-250x^{ 1 }$$
Diese Vermutung müsste nun noch bewiesen werden, was man üblicherweise mit vollständiger Induktion macht. Das erspare ich mir hier aber, sondern gehe davon aus, dass diese Formel richtig ist.
Formt man diese Formel weiter um, so erhält man:
$$=K{ x }^{ n }-250x^{ n }-250x^{ n-1 }-250x^{ n-2 }-...-250x^{ 1 }$$$$=K{ x }^{ n }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ 250x^{ k } }$$$$=K{ x }^{ n }-250\sum _{ k=1 }^{ n }{ x^{ k } }
$$Die Summe hat die Gestalt einer geometrischen Reihe, für die es eine Berechnungsformel gibt, die allerdings davon ausgeht, dass die Summation mit dem Index k=0 beginnt. Deshalb wird die Summe nun um den Index k = 0 erweitert. Dafür muss dann allerdings nach der Summation der Summand x0 subtrahiert werden, also:$$=K{ x }^{ n }-250\left( \left( \sum _{ k=0 }^{ n }{ x^{ k } } \right) -x^{ 0 } \right)$$Ausmultiplizieren und zusammenfassen:$$=K{ x }^{ n }+250-250\sum _{ k=0 }^{ n }{ x^{ k } }$$$$=K{ x }^{ n }+250\left( 1-\sum _{ k=0 }^{ n }{ x^{ k } } \right)$$Anwendung der Formel für die n-te Partialsumme der geometrischen Reihe:$$=K{ x }^{ n }+250\left( 1-\frac { 1-x^{ n+1 } }{ 1-x } \right)$$$$=K{ x }^{ n }+250\left( \frac { 1-x }{ 1-x } -\frac { 1-x^{ n+1 } }{ 1-x } \right)$$$$=K{ x }^{ n }+250\left( \frac { x^{ n+1 }-x }{ 1-x } \right)$$
Damit hat man nun eine Formel für das Restkapital nach n Monaten. Setzt man die gegebenen Werte ein, so erhält man:
$$K_{ 60 }=30000*1,0025^{ 60 }+250\left( \frac { 1,0025^{ 61 }-1,0025 }{ 1-1,0025 } \right) =18646,42$$
Nach 5 Jahren hat Anton also noch 18646,42 Euro auf seinem Sparbuch.
