Formel umstellen Bernoulli-Gleichung

Question

Ich habe Schwierigkeiten beim umstellen folgender Formel nach v2

\( p_{1}+\frac{\rho}{2} · v_{1}^{2}=p_{2}+\frac{\rho}{2} · v_{2}^{2} \quad |-\frac{\rho}{2}: p_{2} \)
\( \frac{p_{1}+\frac{\rho}{2}-\frac{\rho}{2} · v_{1}^{2}}{p_{2}}=v_{2}^{2} \)
\( v_{2}=\sqrt{\frac{p_{1}+\frac{\rho}{2}-\frac{\rho}{2} · v_{2}^{2}}{p_{2}}} \)

Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Verbockt hast du es bereits bei der ersten Umformung, die doch ziemlich "abstrus" ausfällt.

Du musst zunächst auf beiden Seiten p₂ subtrahiere und dann durch p / 2 dividieren (bzw., was dasselbe ist, mit 2 / p multiplizieren. Dann hast du einen Term für v₂²

So geht's:

$$p_{ 1 }+\frac { p }{ 2 } *{ v }_{ 1 }^{ 2 }=p_{ 2 }+\frac { p }{ 2 } *{ v }_{ 2 }^{ 2 }$$p₂ subtrahieren:$$\Leftrightarrow p_{ 1 }+\frac { p }{ 2 } *{ v }_{ 1 }^{ 2 }-p_{ 2 }=\frac { p }{ 2 } *{ v }_{ 2 }^{ 2 }$$mit 2 / p multiplizieren:$$\Leftrightarrow \frac { 2 }{ p } (p_{ 1 }+\frac { p }{ 2 } *{ v }_{ 1 }^{ 2 }-p_{ 2 })={ v }_{ 2 }^{ 2 }$$Gleichung umdrehen und dabei ausmultiplizieren:$$\Leftrightarrow { v }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 2p_{ 1 } }{ p } +1*{ v }_{ 1 }^{ 2 }-\frac { 2p_{ 2 } }{ p }$$Zusammenfassen:$$\Leftrightarrow { v }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 2(p_{ 1 }-p_{ 2 }) }{ p } +{ v }_{ 1 }^{ 2 }$$Wurzel ziehen$$\Leftrightarrow { v }_{ 2 }=\sqrt { \frac { 2(p_{ 1 }-p_{ 2 }) }{ p } +{ v }_{ 1 }^{ 2 } }$$