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Aufgabe:

Eine Kugel mit dem Radius r hat das Volumen V=4/3 mal pi mal r

Leite die Formel mit der allgemeinen Volumenformel her.

Problem/Ansatz:

Die allg. Volumenformel ist V= pi mal Integral (f(x))2

Für das Integral würde ich r und -r nehmen.

Ich verstehe nicht, was genau ich hier jetzt einsetzen muss.

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Aloha :)

Ein Kreis mit Mittelpunkt \((0|0)\) und Radius \(r\) erfüllt die Koordinantengleichung:$$x^2+y^2=r^2$$Wenn wir uns auf den ersten Quadranten \(x,y\ge0\) beschränken, können wir das als Funktionsgleichung ausdrücken:$$y(x)=\sqrt{r^2-x^2}\quad;\quad x\in[0;r]$$Sie beschreibt einen Viertelkreis mit Radius \(r\).

~plot~ sqrt(3^2-x^2)*(x>=0) ~plot~

Wenn wir diese Funktion um die \(x\)-Achse rotieren lassen, erhalten wir das Volumen einer Halbkugel:$$V_{1/2}=\pi\int\limits_0^ry^2(x)\,dx$$Das Volumen der ganzen Kugel ist doppelt so groß. Wir setzen ein:$$V=2\pi\int\limits_0^r(r^2-x^2)dx=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^r=2\pi\cdot\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=2\pi\cdot\frac23r^3=\frac43\pi r^3$$

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Die Funktion im 1.
r^2 = x^2 + y^2
y = √ ( r^2 - x^2 )

y rotiert
A = Scheibe = y^2 * PI
A = [ √ ( r^2 - x^2 ) ] ^2 * PI
A = ( r^2 - x^2 )  * PI
A = PI * r^2 - x^2 * PI
Stammfunktion
S = PI * x * r^2 - x^3/3 * PI

V = S zwischen 0 und r

V = PI * r * r^2 - r^3/3 * PI minus ( PI * 0 - 0^3/3 * PI)
V = PI * r^3 - r^3/3 * PI
V = PI * ( r^3 - r^3/3 )
V = PI * ( 2 / 3 * r^3 )
Das ist eine Halbkugel
Ganze Kugel

V = PI * 2 * ( 2 / 3 * r^3 )
V = PI * 4 / 3 * r^3

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