Wie beweise ich diese Aussage?

Question

Aufgabe:

Zur σ-Algebra ℜ wird eine beliebige Menge C ∈ 2^Ω als Element hinzugefügt, dann gilt
σ(ℜ ∪ {C}) = {(A ∩ C) ∪ (B ∩ C^c) | A, B ∈ ℜ}.

Comments

Der sigma-Operator σ(M) gibt ja die kleinste sigma-Algebra an, die die Mengen aus M enthält.

Links steht also die kleinste sigma-Algebra die die Mengen aus ℜ ∪ {C} enthält.

Du kannst jetzt zeigen, dass

1. {(A ∩ C) ∪ (B ∩ C^c) | A, B ∈ ℜ} ⊆ σ(ℜ ∪ {C})

2. ℜ ∪ {C} ⊆ {(A ∩ C) ∪ (B ∩ C^c) | A, B ∈ ℜ}

3. Dass {(A ∩ C) ∪ (B ∩ C^c) | A, B ∈ ℜ} eine sigma-Algebra ist.

2 und 3 zeigen, dass das System eine sigma-Algebra ist, die alle Mengen aus ℜ ∪ {C} umfasst

1 sichert dir dann zu, dass diese sigma-Algebra nicht größer als die kleinste sigma-Algebra mit dieser Eigenschaft ist. Damit muss dann bereits Gleichheit gelten.