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Aufgabe:

reelle Zahlen mit periodischer Dezimaldarstellung sind rationale Zahlen


Problem/Ansatz:

Wie beweise ich mathematisch korrekt diese Aussage?

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3 Antworten

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Verwende Definitionen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl

Q ist eine echte Teilmenge von R.

Jede rationale Zahl ist zugleich eine reelle Zahl.

Avatar von 39 k

Frage nicht richtig gelesen oder nicht verstanden.

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Hallo

Indem du die periodischen Dezimalzahlen in echte Brüche verwandelst.

Gruß lul

Avatar von 107 k 🚀

sei a = 0.12341234...

dann ist 10000a = 1234.1234... und 1000a-a = 1234, also a = 1234/999

also a = 1234/999

Tipp das in deinen TR ein. Es kommt etwas anderes raus.

Es fehlt eine 9 am Ende

aber wie mache ich einen korrekten mathematischen Beweis dazu mithilfe der geometrischen Reihe?

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Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als gewöhnlicher Bruch darstellen, ist also eine rationale Zahl.

\(0,222...=0,\overline{2}\)

\(10\cdot 0,222...=2,\overline{2}\)

\(-1\cdot 0,222...=\red{-}0,\overline{2}\)

-------------------------------------------

\(9\cdot 0,222...=2,\overline{2}-0,\overline{2}=2\)

\( 0,222...=0,\overline{2}=\frac{2}{9}\)

Avatar von 38 k

Es ist nach einem Beweis gefragt

Außerdem ist \(-1\cdot 0,222...=0,\overline2\) falsch.

Danke! Ich habe es oben verbessert.

Wenn man etwas an einem konkreten Beispiel vormacht, ist das vielleicht ein gutes Anschauungsbeispiel, allerdings kein Beweis.

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