Multiplikation von orthogonaler Matrix mit Lösungsvektor

Question

Aufgabe:

$$\text { Es seien } x=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right), Q \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \text { eine orthogonale Matrix und } Q x=\left(\begin{array}{l} \alpha \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \text {. Geben Sie }|\alpha| \text { an }$$

Problem/Ansatz:

Das ist die komplette Aufgabenstellung, ich bin mir leider nicht sicher wie genau ich da rangehe.

Danke im Voraus :)

Comments

Lies einfach durch was Dir auf eine Deiner vorherigen Fragen geantwortet wurde.

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix $\mathbf Q$ ist orthogonal, d.h. $\mathbf Q\cdot \mathbf Q^T=\mathbf 1=\mathbf Q^T\cdot \mathbf Q$.

Wir können zeigen, dass sich die Länge eines Vektors $\vec x$ nicht ändert, wenn die Abbildung $\mathbf Q$ auf ihn wirkt:

$$\left\|\mathbf Q\cdot\vec x\right\|^2=(\mathbf Q\cdot\vec x)^T\cdot(\mathbf Q\cdot\vec x)=\vec x^T\cdot\mathbf Q^T\cdot \mathbf Q\cdot\vec x=\vec x^T\cdot\vec x=\left\|\vec x\right\|^2$$

Wenden wir das auf die gegebene Situation an, ergibt sich die Forderung:$$a^2+0^2+0^2+0^2=2^2+4^2+0^2+4^2\implies a^2=36\implies|a|=6$$

Answer 2

Die Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix ist Längen-erhaltend,

da es sich um eine Isometrie handelt.

Mehr muss man hier nicht wissen ...

Comments

Ok, dann kommt man aufs richtige Ergebnis, warum hat aber das Ergebnis Q*x nur einen Wert in der ersten Zeile? Was für eine Matrix Q kann ich wählen um auf dieses Ergebnis zu kommen? Mit der Einheitsmatrix klappt es bei mir nicht, die müsste ja auch orthogonal sein.

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Die Gestalt des Ergebnisvektors ist hier so vorgegeben.

Der/die AufgabenstellerIn hat das so gemacht, damit Studierende

sich an die Längenerhaltungseigenschaft erinnern sollen.

Wie Q aussieht, ist in der Aufgabe egal.