Eigenschaften der p-adischen Ordnung auf Z

Question

Aufgabe: Zeige, Vp(x+y)≥min{Vp(x),Vp(y)} wobei x,y∈ℤ

Problem/Ansatz: Hallo,

ich muss folgende Ungleichung beweisen:

Vp(x+y)≥min{Vp(x),Vp(y)} wobei x,y∈ℤ

Ich habe den Großteil des Beweises eigentlich schon verstanden, jedoch verstehe ich eine Implikation nicht ganz. Und zwar steht in "p-adische Zahlen" von Gouvéa folgendes:

Angenommen Vp(x)≤Vp(y)

x+y=p^Vp(x)*x'+p^Vp(y)*y'=p^Vp(x)*(x'+p^Vp(y)*y')   ⇒  Vp(x+y)≥Vp(x)=min{Vp(x),Vp(y)}

genau die letzte Implikation verstehe ich nicht ganz. Ich wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Werfen wir einen Blick auf (das von mir korrigierte)

$p^{v_p(x)}\cdot (x'+p^{v_p(y)-v_p(x)}\cdot y')$.

Dieser Ausdruck ist mindestens durch $p^{v_p(x)}$ teilbar.

Also gilt $v_p(x+y)\geq v_p(x)$, also wegen $v_p(x)\leq v_p(y)$ die

Ungleichung $v_p(x+y)\geq \min(v_p(x),v_p(y))\quad(*)$.

Da $(*)$ symmetrisch in $x$ und $y$ ist, bedeutet die

Voraussetzung $v_p(x)\leq v_p(y)$  keine Einschränkung der

Allgemeinheit.

Comments

Ist jetzt alles geklärt ?

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hey, danke für die Antwort. Ich verstehe allerdings immer noch nicht ganz wieso folgt, das Vp(x+y)≥Vp(x) , nur weil der Ausdruck mindestens durch p^Vp(x) teilbar ist. was hat diese Tatsache damit zutun dass die Größer-Gleich Relation gilt?

Liebe Grüße

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$v_p(x)$ gibt doch für ganze x an, welche Potenz von p in x steckt.

Ist $x=p^a\cdot x'$, wobei $x'$ nicht durch p teilbar ist,

dann ist $v_p(x)$ definiert als $v_p(x)=a$,

also "wie häufig kommt p in der Primfaktorzerlegung von x vor".

Z.B. $v_3(45)=v_3(3^\textcolor{blue}{2}\cdot 5)=\textcolor{blue}{2}$.

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Jetzt habe ich es verstanden, vielen dank!