Permanente einer nicht quadratischen Matrix

Question

Ich versuche gerade die Definition von der Permanente zu verstehen, die wie folgt definiert ist. Seien m, n natürliche Zahlen mit m kleiner gleich n und I die Menge aller Injektionen von {1,...,m} in {1,...,n}. Ist A eine (m x n)-Matrix mit Einträgen aus den reellen Zahlen, so nennt man $$per(A) = \sum\limits_{\tau \in I} a_{1\tau(1)}...a_{m\tau(m)}$$, die Permanente der Matrix A. Also von einer quadratischen Matrix, weiß ichs wie man es berechnent. Das ist wie bei der Determinanten Berechnung, nur man lässt die Vorzeichen weg. Aber bei einer nicht quadratischen Matrix ist mir die Berechnung absolut nicht klar. Ich bin sehr dankbar wenn jemand mir die Definition erklären könnte. Vielen Dank im Voraus

Comments

Naja viel zu erklären gibt es da eigentlich nicht. Vielleicht an einem Beispiel

m = 2 und n = 3. Welche Injektionen gibt es dann von {1,2} in {1,2,3}?

1->1, 2->2

1->1, 2->3

1->2, 2->1

1->2, 2->3

1->3, 2->1

1->3, 2->2

Also insgesamt 6 Stück. Im Allgemeinen werden das n!/(n-m)! viele sein.

Und dann bildest du die Summe über diese 6 Funktionen:

$$a_{11}a_{22} + a_{11}a_{23}+ a_{12}a_{21} + a_{12}a_{23} + a_{13}a_{21} + a_{13}a_{22}$$

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Blöde Frage vllt., aber wie sieht die Matrix dazu aus?

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$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}$$

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Das die Matrix so aus sieht ist mir schon klar. Aber wo kommt welcher Eintrag hin?

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Wie meinst du das wo kommt welcher Eintrag hin?

Es gibt die Nummerierungskonvention: Oben links anfangen. Erster Index Zeilennummer (nach unten zählen), zweiter Index Spaltennummer (nach rechts zählen)

Wenn du das in der Summe meinst:

betrachte z.B. mal die injektive Funktion f: 1->1 und 2->2

Dann gibt es zu dieser Funktion f genau einen Summanden und zwar

$$a_{1,f(1)} \cdot a_{2,f(2)} = a_{1,1} \cdot a_{2,2}$$

Dann betrachtest du die nächste injektive Funktion g: 1->1, 2->3

Auch zu dieser gehört wieder genau ein Summand:

$$a_{1,g(1)} \cdot a_{2,g(2)} = a_{1,1} \cdot a_{2,3}$$

usw.