Hallo,
wir nehmen ohne Einschränkung an, dass \(f\) auf dem Intervall \([a,b]\) definiert ist. Diese Einschränkung können wir annehmen, da wir für den Raum \(\mathbb{R}\) einfach die Grenzübergängen betrachten. Da \(f\) differenzierbar ist, so ist \(f\) auch stetig und wir erfüllen somit die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes. Laut diesem gibt es ein \(x \in (a,b)\), sodass
\(f'(x)(b-a)=f(b)-f(a)\)
Nach Annahme gilt zunächst
\(f'(x)(b-a) =f(b)-f(a)\leq f(x)(b-a)\)
Wegen unserer Voraussetzung besitzt \(f\) eine Nullstelle in \(x\). Das heißt
\(f'(x)\leq 0 \)
Nach Annahme gilt aber \(0 \leq f'(x)\), was impliziert, dass \(f'(x)=0\) für alle \(x \in [a,b]\).
