Zeigen: Die n-te Ableitung von f besitzt eine Nullstelle.

Question

kann mir bitte wer bei der Aufgabe helfen?

Kurz und knapp:

Die Funktion f: ℝ → ℝ sei n-mal differenzierbar und besitze n +1 verschiedene Nullstellen.

Nun soll ich zeigen: Das die n-te Ableitung von f eine Nullstelle besitzt. Wie geht das?

Comments

Mit dem Satz von Rolle.

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Aus meiner Sicht schon eine vollkommen ausreichende Antwort, warum also als Kommentar?

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Damit niemand enttaeuscht ist, wenn er nur den kurzen Tipp sieht, und eigentlich auf mehr gehofft hatte. :)

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Lösung 1:

f' hat n Nullstellen nach Rolle. Dann besitze

f'' n-1 Nullstellen

f''' n-2 Nullstellen

... sukzessiv erhält man...

f^{n} besitzt n+1-n=1 Nullstellen.

Würdet ihr sagen, dass das als Lösung ausreicht?

Es gibt auf mathelounge schon eine lösung dazu: https://www.mathelounge.de/315113/zeigen-die-n-te-ableitung-von-f-besitzt-eine-nullstelle die ich leider net verstehe. Ich versuchs mal:

Lösung 2 mit VInduktion:

IA n = 1:

Sei f 1-mal differenzierbar und besitze 2 Nullstellen, dann hat f' genau eine Nullstelle nach Rolle.

IS n=n+1:

Sei f n+1 mal differenzierbar und besitze n+2 nullstellen. Dann f' n-mal diff. und besitzt n+1 Nullstellen... Und weiter? Ich will ja zeigen dass die n-te Ableitung nur 1

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...Nullstelle hat.

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hab meine alte Antwort korrigiert. s. Kommentar.

Answer 1

Also ich finde die Antwort als Tipp prima, als Lösung der Aufgabe etwas arg knapp.

Kenne Rolle nur so:  Wenn bei den gegebenen Vor'en für f es zwei Stellen a;b gibt mit f(a) = f(b), dann hat

f ' in ] a ; b [  eine Nullstelle.

Dann braucht man zur Lösung der Aufgabe sicher noch sowas wie vollst Induktion:

Und für dazu würde ich etwas umformulieren:

Die Funktion f: ℝ → ℝ sei n-mal differenzierbar und besitze n +1 verschiedene Nullstellen.

 dann hat die k-te Ableitung von f     k verschiedene Nullstellen  .

n=1 dürfte dann klar sein  (  Bei Nullstellen ist halt f(a) = f(b)  und dann Rolle)

Und beim Induktionsschritt hätte man zu zeigen

Wenn es für n gilt, dann:

Die Funktion f: ℝ → ℝ sei (n+1)-mal differenzierbar und besitze n +2 verschiedene Nullstellen.

 dann hat die k-te Ableitung von f     k verschiedene Nullstellen  . 

Und hier kann man nun sagen, dass dann f '  ja noch n-mal differenzierbar ist   und also
(Ind.Vor)  n+1 Nullstellen hat ......

Comments

Zu zeigen war doch das f^{n} eine Nullstelle besitzt. Jetzt hast du gezeigt das f' n+1 nullstellen hat..

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Ja war Quatsch, muss heißen k-te Ableitung hat  n+1-k Nullstellen.

( also n-te Abl. hat eine.)

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Ich verstehe nicht wozu du "dann hat die k-te Ableitung von f     k verschiedene Nullstellen" schreibst bei IA und IS

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sollte ja heißen:

"dann hat die k-te Ableitung von f    n+1- k verschiedene Nullstellen"

Das hielt ich für sinnvoll, damit es mit der Induktion klappt.