Tangente, gleichschenkliges Dreieck bestimmen

Question

Aufgabe: Gegeben sind die Funktionen f_a(x) mit der Gleichung fa(x)=\( \sqrt{ax} \)-\( \frac{x^2}{2} \)

Die Graphen dieser Funktionen sind Ga . 1. Ableitung: \( \frac{a}{2*\sqrt{ax}} \)-x

Problem/Ansatz: Es existiert genau ein Graph Ga , dessen Tangente im Punkt (1 \ f_a(1)) mit den beiden
Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.
Ermitteln Sie den zugehörigen Parameterwert a.

Answer 1

f(x) = √(a·x) - x^2/2

f'(x) = √(a/(4·x)) - x

f'(1) = √(a/4) - 1 = 1 → a = 16

Skizze

~plot~ 4*sqrt(x)-x^2/2;x+2.5 ~plot~