Bestimmen Sie die Regressionsgerade

Question

Aufgabe;

Bei der Prüfung eines wärmeabhängigen Widerstandes wurden folgende Werte ermittelt:
Temperatur (T)    20°      25°      30°      35°        40°        50°            60°       70°
Widerstand (Ω) 14,30  14,44   14,64   14,80    14,95     15,25       15,61     15,86

Hierbei kann man davon ausgehen, dass der Widerstand R eine lineare Funktion der
gemessenen Temperatur T ist. Bestimmen Sie die Regressionsgerade

R= aT+b

zu diesen Daten und schätzen Sie damit, welchen Wert der Widerstand bei einer Temperatur von
65° haben wird.

Problem/Ansatz:

Wie soll ich hier genau vorgehen. Kann mir jemand einen Ansatz nennen.

Answer 1

Hallo,

es gibt natürlich zu Hauf Infos dazu im Netz. Wo genau ist denn Dein Problem?

Die allgemene Lösung besteht darin, die sogenannten Gaußschen Normalgleichungen oder Normalengleichungen aufzustellen und die dann zu lösen:$$A^T\cdot A \cdot \alpha = A^T\cdot z$$In Deinem konkreten Fall ist$$A = \begin{pmatrix}1& 20\\ 1& 25\\ 1& 30\\ 1& 35\\ 1& 40\\ 1& 50\\ 1& 60\\ 1& 70\end{pmatrix}, \quad z = \begin{pmatrix}14.3\\ 14.44\\ 14.64\\ 14.8\\ 14.95\\ 15.25\\ 15.61\\ 15.86\end{pmatrix}$$und die Lösung ist$$R\left(T\right)=\frac{19}{600}T+\frac{547}{40}$$wie auch der Graph zeigt:

Hier findest Du noch Detailinformationen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Danke. Ich Fuchse mich gad in dieses Thema ein. Wie kommst du aber von der Normalengleichung auf die Geradengleichung ? woher hast du die Werte für a und b raus ?

Text erkannt:

\( A^{T} \cdot A \cdot \alpha=A^{T} \cdot z \)
In Deinem konkreten Fall ist
\( A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 20 \\ 1 & 25 \\ 1 & 30 \\ 1 & 35 \\ 1 & 40 \\ 1 & 50 \\ 1 & 60 \\ 1 & 70 \end{array}\right), \quad z=\left(\begin{array}{c} 14.3 \\ 14.44 \\ 14.64 \\ 14.8 \\ 14.95 \\ 15.25 \\ 15.61 \\ 15.86 \end{array}\right) \)
und die Lösung ist
\( R(T)=\frac{19}{600} T+\frac{547}{40} \)

Wie kommst du auf die Werte 19/600 und 547/40 ???

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Wie kommst du auf die Werte 19/600 und 547/40 ???

ich habe die Matrizen eingesetzt und das Gleichungssystem \(A^{T}A \cdot \alpha=A^{T}z \) gelöst. Es ist$$A^T \cdot A = \begin{pmatrix}8& 330\\ 330& 15750\end{pmatrix}$$ und $$A^T \cdot z = \begin{pmatrix}119.85\\ 5011.5\end{pmatrix}$$Damit erhält man das lineare Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}8& 330\\ 330& 15750\end{pmatrix} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}b\\ a\end{pmatrix}}_{=\alpha} = \begin{pmatrix}119.85\\ 5011.5\end{pmatrix}$$mit der Lösung$$a = \frac{19}{600}, \quad b=\frac{547}{40}$$Ist Dir Matrizenmultiplikation bekannt?

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Vielen lieben Dank. Jetzt habe ich es verstanden. Hab mir Matrizenmultiplikation nochmal angeschaut

Answer 2

Andere Wege...

Wir haben hier einen Artikel zu dem Thema (siehe im Link Seite unten)

und wenn Du eine Versuchsanordnung dazu suchst

hilft Dir vielleicht die App

Polynom Regression Herleitung

https://www.geogebra.org/m/YjjE9nwR

weiter.

Taschenrechner/Tab-Kalk optimiert können auch 4 Summen berechnet werden
y = a₁ x + a₀

\( S_{x}=\sum \limits_{i=1}^{n} X, S_{y}=\sum \limits_{i=1}^{n} Y, S_{x x}=\sum \limits_{i=1}^{n} X^{2}, S_{x y}=\sum \limits_{i=1}^{n} X Y \)

\( \left(\begin{array}{l}a_{0} \\ a_{1}\end{array}\right)=\frac{1}{S_{x}^{2}-S_{x x} n} \cdot\left(\begin{array}{c}S_{x} S_{x y}-S_{y} S_{x x} \\ S_{x} S_{y}-S_{x y} n\end{array}\right) \)