Für \( n = 1 \) sollte es klar sein, oder?
Ist \( A_n \) die Matrix mit lauter Einsen auf der Gegendiagonale und Nullen sonst. Dann gilt nach dem Entwicklungssatz von Laplace, wenn man nach der ersten Reihe entwickelt
$$ \det{A_{n+1}} = \sum_{j=1}^{n+1} a_{1,j} (-1)^{1+j} D_{1,j} $$ mit \( D_{1,j} \) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die j-te Spalte streicht.
Da \( a_{1,j} = 0 \) für \( j \le n \) gilt und \( a_{1,n+1} = 1 \) ist, folgt
$$ \det{A_{n+1}} = (-1)^{n+2} D_{1,n+1} $$ und für \( D_{1,n+1} \) gilt nach Induktionsvoraussetzung
$$ D_{1,n+1} = (-1)^{ \frac{n^2-n}{2} } $$ und damit $$ \det{A_{n+1}} = (-1)^{n+2} (-1)^{ \frac{n^2-n}{2} } = (-1)^{ \frac{n^2+n}{2} } $$ was zu beweisen war.
