Numerische Näherungsverfahren/ Approximation von Funktionen

Question

Die untenstehende Abbildung zeigt zwei geradlinig verlaufende Eisenbahngleise im Grundriss. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht in der Wirklichkeit 100 Meter. Das erste Gleis geht durch den Punkt A(1|2) und liegt auf der Geraden g_{1} mit der Gleichung y = -2x + 4, das andere geht durch den Punkt B(4|0,5) und liegt auf der Geraden g_{2} mit der Gleichung y = -0,125x + 1.

Es soll eine neue, gekrümmte Gleisverbindung gebaut werden, die die Punkte A und B miteinander verbinden soll.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der quadratischen Parabel, die durch die Punkte A und B geht und die in Punkt A ohne Knick an die Gerade durch A anschließt.

b) Lässt sich auch eine quadratische Funktion finden, deren Graph in den beiden Punkten A und B knickfrei an die Geraden anschließt? Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Bestimmen Sie für die Hyperbel mit der Gleichung y = c/a den Wert des Parameters c so, dass die Hyperbel durch A geht. Überprüfen Sie, ob diese Hyperbel auch durch B geht.

d) Bewerten Sie die Parabel aus a) und die Hyperbel aus c) bezüglich ihrer Eignung als Gleisverbindung. Begründen Sie Ihre Antwort unter Berücksichtigung der Knickfreiheit.

e) Der Inhalt der Fläche zwischen der Hyperbel mit der Gleichung \( \mathrm{y}=\frac{2}{x} \) und der \( \mathrm{x} \) -Achse im Intervall \( [1 ; 4] \) sei mit \( \mathrm{F} \) bezeichnet. Beschreiben Sie, wie F durch die dunkel- und hellgrauen Rechtecke in Material 1 und 2 näherungsweise bestimmt werden kann. Berechnen Sie den gesemten FIScheninhalt der dunkelgranen Rechtecke sowie den der hellgrauen Rechtecke.

f) Der wahre Wert für F ist 2,77. Begründen Sie anschaulich, warum dieser kleiner ist als der Mittelwert der beiden Ergetonisse aus e).

g) Berechnen Sie diese Fläche mit einem numerischen Integrationsverfahren, welches genauer ist als die näherungsweise Bestimmung der Fläche F durch die dunkel- und hellgrauen Rechtecke in Material 1 und Material 2 .

h) Die Fläche zwischen den alten Gleisen (Geraden) und dem neuen Gleis (Hyperbel) muss die Bahn dem Besitzer abkaufen. Der Preis pro Quadratmeter beträgt 20 €. Bestimmen Sie unter Verwendung des in Aufgabe f) gegebenen Wertes den Preis für diese Fläche.

Answer 1

a)

Allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel:

p ( x ) = a x ²+ b x + c

Die Ableitung ist:

p ' ( x ) = 2 a x + b

Laut Aufgabenstellung soll gelten

p ( 1 ) = 2
p ( 4 ) = 0,5
p ' ( 1 ) = - 2

also Einsetzen in die allgemeine Funktionsgleichung bzw. deren Ableitung

a * 1 ²+ b * 1 + c = 2
a * 4 ²+ b * 4 + c = 0,5
2 * a * 1 + b = - 2

<=>

a + b + c = 2
16 a + 4 b + c = 0,5
2 * a + b = - 2

Auflösen dieses Gleichungssystems ergibt:

a = 0,5
b = - 3
c = 4,5

Somit lautet die gesuchte Parabelgleichung (Einsetzen der Parameterwerte in die allgemeine Funktionsgleichung):

p ( x ) = 0,5 x ² - 3 x + 4,5

Ihre Ableitung (benötigt für Teil b) ist:

p ' ( x ) = x - 3
 

b)

Da eine Parabel nur drei Parameter hat, ist sie durch die gegebenen drei Bedingungen eindeutig bestimmt. Es gibt also nur die unter a) berechnete Parabel, die die dort geforderten Bedingungen erfüllt. Wenn daher diese Parabel nicht "zufällig" auch die vierte Bedingung (Knickfreiheit in Punkt B) erfüllt, dann lassen sich dieses vier Bedingungen nicht durch eine Parabel erfüllen.

Erfüllt also die gefundene Parabel "zufällig" die vierte Bedingung?

Nun, dazu müsste ihre Ableitung an der Stelle 4 gleich der Steigung der Geraden g₂, also gleich - 0,125 sein. Es gilt jedoch:

p ' ( 4 ) = 4 - 3 = 1  ≠ .-0,125

Es gibt daher keine Parabel durch die Punkte A und B, die dort knickfrei an die Geraden g₁ bzw. g₂ anschließt.

c)

Einsetzen der Koordinaten des Punktes A ( 1 | 2 )  in die gegebene Hyperbelgleichung h ( x ) = y = c / x:

2 = c / 1

<=> c = 2

Die Hyperbelgleichung lautet also: h ( x ) = 2 / x

Geht die Hyperbel auch durch den Punkt B ( 4 | 0,5 ) , gilt also:

h ( 4 ) = 0,5 ?

Es gilt:

h ( 4 ) = 2 / 4 = 0,5

Das ist eine wahre Aussage, also geht die Hyperbel y = 2 / x auch durch den Punkt B.

 

d)

Die Ableitung von h ( x) ist:

h ' ( x ) =  - 2 / x ²

An der Stelle x = 1 hat sie den Wert:

h ' ( 1 ) = - 2

und an der Stelle 4 hat sie den Wert:

h ' ( 4 ) = - 2 / 16 = - 0,125.

Das aber sind gerade die Steigungen der beiden Geraden g₁ und g₂. Die Hyperbel h schließt also sowohl in Punkt A als auch in Punkt B knickfrei an die jeweiligen Geraden an. Sie ist daher für eine Gleisverbindung geeignet, während die Parabel p in Punkt B nicht knickfrei an g₂ anschließt  und damit als Gleisverbindung untauglich ist.

 

An dieser Stelle muss ich erst einmal abberechen. Ich werde mich später noch einmal mit dem Rest dieser Aufgabe befassen.