Rote und rosa Blüten einer Tulpensorte. Übergangsmatrix bestimmen

Question

die blüten einer tilpensorte sind entweder rot,rosa oder weiß. kreuzt man eine rote mit einer roten,so entsteht wieder eine rote.kreuzt man eine rote mit einer rosa farbenen,so entsteht zu 75 % eine rote und sonst eine rosa blühende. kreuzt man eine rote mit einer weißen,so entsteht in 50% der fälle eine rote sonst eine rosane.

wie stelle ich jetzt eine übergangsmatrix auf?

wäre toll wenn mir jemand schnell antworten kann!:)

Answer 1

 

wir erstellen zunächst eine Tabelle mit der Kopfzeile (also von) rot/rot, rot/rosa und rot/weiß sowie den Zeilen (nach) rot, weiß, rot:

 

	rot/rot	rot/rosa	rot/weiß
rot	1	0,75	0,5	2,25
rosa	0	0,25	0,5	0,75
weiß	0	0	0	0
	1	1	1	3

 

Daraus ergibt sich die Übergangsmatrix

1	0,75	0,5
0	0,25	0,5
0	0	0

 

Wenn wir nun beispielsweise

50 rote, 20 rosane und 10 weiße Tulpen mit jeweils einer roten Tulpe kreuzen, schreiben wir diese Zahlen in einen Spaltenvektor: 

50

20

10

und multiplizieren die Übergangsmatrix mit diesem Spaltenvektor, um herauszufinden, wie viele rote, rosane und weiße Tulpen entstanden sind:

1 * 50 + 0,75 * 20 + 0,5 * 10 = 70

0 * 50 + 0,25 * 20 + 0,5 * 10 = 10

0 * 50 + 0 * 20 + 0 * 10 = 0

 

Es sind also 70 rote und 10 rosane Tulpen entstanden, was sich durch Einsetzen der Zahlen in die Voraussetzungen leicht nachprüfen lässt.

 

Besten Gruß

Comments

aber müsste nicht von rot nach rosa,0,25 sein? und wie kommt man auf die2,25?

 was bedeuten die zahlen in den jeweils letzten zeilen bei der übergangsmatrix?

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Meiner Meinung nach muss von rot nach rosa 0,75 sein wegen:

rot * rosa = 0,75rot + 0,25rosa

rot * weiß = 0,5rot + 0,5rosa

 

Und auf die 2,25 bin ich durch die Addition folgender fettgedruckter Zahlen gekommen:

rot * rot = rot

rot * rosa = 0,75rot + 0,25rosa

rot * weiß = 0,5rot + 0,5rosa

 

Mit den jeweils letzten Zeilen meinst Du die Spalte ganz rechts?

Diese bedeuten, wenn man "schön gleichmäßig kreuzt", hat man in der nächsten Generation 4,5 Pflanzen, davon sind 3 rot, 1,5 rosa und keine weiß. (Zumindest das Letzte ist unmittelbar einsichtig, da bei keiner Kreuzung neue weiße Tulpen entstehen.)

 

Das andere kannst Du ja mal mit ein paar Zahlen durchspielen :-)

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ok,aber kann es dann nicht seindas von weiß nach rot 0,5 sind ? und eigentlich muss doch bei einer Übergangsmatrix die spaltensumme 1 ergeben,das tut es hier ja nicht richtig. wie acht man das jetzt wenn 50 rote 20 rosane und 10 weiße mit jeweils einer roten gekreuzt werden,wie kann man das berechnen wie viele tulpen man von jeder farbe erwarten kann?

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Von weiß nach rot = 0,5 ist natürlich richtig - gut aufgepasst!!

Werde es gleich korrigieren. Den Rest Deiner Fragen schaue ich mir dann an.

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Wenn man die Wahrscheinlichkeiten angibt, müssen die Werte der untersten Zeile insgesamt 1 ergeben und ebenso die Werte der Spalte ganz rechts. Das ist jetzt dank Deines Hinweises (weiß nach rot = 0,5) der Fall :-)


Zu Deinem Fallbeispiel muss ich noch etwas überlegen.

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aber in der ersten Spalte bekomme ich ja nicht 1 raus? Aber das müsste ich ja auch eigentlich

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50 rote und 50 rote = 50 rote

20 rosane und 20 rote = 15 rote und 5 rosane

10 weiße und 10 rote = 5 rote und 5 rosane

(alles nach Voraussetzung)

Wir erhalten also 70 rote und 10 rosane Tulpen.

Ich habe die Lösung gefunden und meine gesamte Antwort entsprechend korrigiert!!

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Jetzt müsste es stimmen :-D

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ja vielen danke so hab ich es auch raus :) kann ich denn die zahlen in dem Vektor so normal stehen lassen,oder muss man die in Prozent umformen ? Und wie macht man es ,wenn 100 rote und 40 rosane gezüchtet werden sollen und ich die möglichkeiten die zu diesem ergebnis führen sollen bestimmen muss? Das wäre auch  meine letzte Frage :)

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Gern geschehen :-)


Die Zahlen im Vektor (nicht in der Übergangsmatrix) lässt Du bitte einfach so stehen, denn es ist ja nach der Anzahl der verschiedenfarbigen Tulpen gefragt, die hinzugekommen sind.

Wenn nach einer Prozentzahl gefragt wäre, müsstest Du den Vektor auch in Prozente umrechnen - oder halt das Ergebnis, was aber nicht so schwierig sein dürfte :-)


Wenn 100 rote und 40 rosane Tulpen gezüchtet werden sollen, könnte man dies wahrscheinlich mit der Inversen der Übergangsmatrix berechnen. Ich bevorzuge aber:

Übergangsmatrix * (x | y | z) = (100 | 40 | 0)

Irgendwie verrechne ich mich jetzt ständig, aber die Vorgehensweise an sich sollte so stimmen.

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ja das dachte ich auch,aber irgendwie kommt da nur 1,0,0 raus :/  Ist das mit der inversen Matrix eigentlich das gleiche wie dieses rückrechnen mit dem Gauss verfahren ?:)

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Prinzipiell ja.

Bei dieser Aufgabe ist das Problem, dass es keine eindeutige Lösung gibt, sondern nur ein bestimmtes Verhältnis von x zu y, also von roten zu rosanen Tulpen, die benötigt werden, um die entsprechende "Nachfolgegeneration" zu erhalten.

Da es aber keine eindeutige Lösung gibt, gibt es auch keine inverse Matrix :-(

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wie mach ich das eigentlich wenn ich zum beispiel eine Verteilung,also von beständen (tiere oder ähnliches) nicht nur vor einem Jahr bestimmes soll sonder 2 Jahre vor einer zählung?:)

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Dann würdest Du entweder die Inverse zweimal auf die jetzige Population anwenden oder mit dem Gaussverfahren die Population vor einem Jahr berechnen und dann nochmals das Gaussverfahren auf diesen Vektor anwenden, also

Übergangsmatrix * (x|y|z) = jetziger Zustand, nennen wir diesen (x|y|z)⁰

Dann ist (x|y|z) der vorherige Zustand, nennen wir ihn jetzt (x|y|z)^-1

Und dann

Übergangsmatrix * (x|y|z) = (x|y|z)^-2

etc.

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ok also das was ich für x,y,z herausbekommen habe ist dann quasi mein ergebnis und dann nehm ich die übergangsmatrix wieder mal x,y,z löse es mit dem gauss verfahren und dann hab ich das von vor 2 jahren ?:)

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Genau,

Du berechnest aus der jetzigen Population P₀ durch einmaliges Anwenden des Gauss-Verfahrens die Vorgängerpopulation P_-1.

Dann wendest Du das Verfahren erneut an mit der "jetzigen" Population P_-1 und kommst auf deren Vorgängerpopulation P_-2.

Dann könntest Du das Verfahren erneut mit P_-2 als "jetziger" Population anwenden und kämst auf P_-3

usw. usf. :-)