Häufungspunkt in einer Menge

Question

Hallo zusammen :)

Aufgabe:

Sei M eine Teilmenge eines normierten Raumes (X, ||.||). Zeigen Sie, dass $$a\in X$$ genau dann ein Häufungspunkt von M ist, wenn es eine Folge $$(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ in M\{a} mit $$a_{n}\rightarrow a$$ bei $$n \rightarrow \infty$$ gibt.

Leider habe ich keinerlei Ansatzpunkte. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man da vorgeht?

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Häufungspunkt a ist ja wohl so definiert:

In jeder ε-Umgebung von a liegt noch ein anderes

Element von M.

\(a_{n}\rightarrow a\) bedeutet doch :

Zu jedem ε>0 gibt es ein N, so dass für alle n>N

|| a_n - a|| < ε gilt. Und weil a_n≠a ist (Deshalb ist die

Folge aus M\{a} .)   Folgt daraus doch gleich, dass

in jeder ε-Umgebung von a noch ein anderes

Element von M liegt, nämlich z.B. das a_N+1.

Und umgekehrt: Wenn a ein Häufungspunkt von M ist,

dann nimm zu jedem n ein von a verschiedenes

Element aus der (1/n)-Umgebung von a. Das existiert,

da ein Häufungspunkt von M ist.

Dann hast du ein a_n ∈  M\{a} und die Folge der a_n

konvergiert gegen a.

Comments

Ahhh, vielen Danke für die Erklärung! :)